Por que a seguinte situação é impossível? Uma criança travessa vai a um parque de diversões com sua família. Em um brinquedo, depois de levar uma bronca da mãe, ela escorrega do seu assento e sobe para o topo da estrutura do brinquedo, que tem forma de cone com eixo vertical e lados inclinados que fazem um ângulo de θ   =   20,0 ° com a horizontal, como mostrado na Figura P5.54. Esta parte da estrutura gira sobre o eixo central vertical quando o brinquedo é operado. A criança se senta na superfície inclinada em um ponto d   =   5,32   m para baixo do lado inclinado a partir do centro do cone e faz biquinho. O coeficiente de atrito estático entre ela e o cone é 0,700 . O operador não nota que a criança saiu de seu assento e então continua operando o brinquedo. Como resultado, a criança amuada sentada gira em uma trajetória circular a uma velocidade de 3,75   m / s .

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo e bora!

O diagrama de corpo livre é mostrado abaixo:

Onde é assumido que o atrito aponta para cima da inclinação, caso contrário, a criança iria deslizar para baixo na inclinação. A força líquida é direcionada para a esquerda em direção ao centro do caminho circular em que a criança percorre. O raio desse caminho é R = d c o s ⁡ θ .

Três forças agem sobre a criança, uma força normal, atrito estático e gravidade. As relações de seus componentes de força são:

∑ F x :     f s cos ⁡ θ - nsin ⁡ θ = m v 2 R

∑ F y :       f s sin ⁡ θ + ncos ⁡ θ - m g = 0 → f s sin ⁡ θ + ncos ⁡ θ = m g

Passo 2

Resolva o atrito estático e a força normal.

Para resolver o atrito estático, multiplique a equação [1] por   c o s ⁡ θ e a equação [2] por s i n ⁡ θ e adicione:

c o s ⁡ θ f s cos ⁡ θ - nsin ⁡ θ + s i n ⁡ θ f s sin ⁡ θ + ncos ⁡ θ = c o s ⁡ θ m v 2 R + s i n ⁡ θ ( m g ) f s = ( m g ) s i n ⁡ θ + m v 2 R c o s ⁡ θ

Para resolver a força normal, multiplique a equação [1] por - s i n ⁡ θ e a equação [2] por   c o s ⁡ θ e adicione:

( - s i n ⁡ θ ) f s cos ⁡ θ - nsin ⁡ θ + c o s ⁡ θ f s sin ⁡ θ + ncos ⁡ θ = ( - s i n ⁡ θ ) m v 2 R + c o s ⁡ θ ( m g ) n = ( m g ) c o s ⁡ θ - m v 2 R s i n ⁡ θ

Acima, nós usamos c o s 2 ⁡ θ + s i n 2 ⁡ θ = 1 .

Se as equações acima devem ser consistentes, o atrito estático e a força normal devem satisfazer a condição f s ≤ μ s n , isso significa:

m g sin ⁡ θ + m v 2 R cos ⁡ θ ≤ μ s m g cos ⁡ θ - m v 2 R sin ⁡ θ → v 2 cos ⁡ θ + μ s sin ⁡ θ ≤ g R μ s cos ⁡ θ - sin ⁡ θ

Passo 3

Usando este resultado, e que R = d c o s ⁡ θ , temos o requisito de:

v ≤ gdcos ⁡ θ μ s cos ⁡ θ - sin ⁡ θ cos ⁡ θ + μ s sin ⁡ θ

Se esta condição não for atendida, se v for muito grande, a situação física não pode existir.

Os valores dados no problema são d = 5.32 m , μ s = 0.700 , θ = 20.0 ∘   e   v = 3.75 m s . Verifique se o valor dado de v satisfaz a condição acima:

9.80 m s 2 5.32 m cos ⁡ 20.0 ∘ - 0.700 cos ⁡ 20.0 ∘ - sin ⁡ 20.0 ∘ cos ⁡ 20.0 ∘ + 0.700 sin ⁡ 20.0 ∘ = 3.62 m / s

A situação é impossível porque a velocidade da criança dada no problema é muito grande: o atrito estático não conseguiu manter a criança no lugar na inclinação.

Resposta

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