Uma bateria de constante é conectada a um indutor num circuito de malha simples. A resistência equivalente do circuito vale . No instante em que a bateria é ligada no indutor, a corrente é nula. Sabendo que a corrente que atravessa o circuito é dada pela função , calcule o valor da indutância .

Em um circuito , a corrente varia com o tempo de acordo com a função:

Sabendo isso, o nosso trabalho aqui é comparar a função acima com a função dada pelo problema:

Daqui podemos tirar que:

Além disso:

Um capacitor inicialmente carregado com , é conectado a um indutor pelo qual inicialmente não passa corrente. A resistência equivalente deste circuito de malha simples vale . Encontre a expressão da carga no capacitor em função do tempo, .

Em um circuito , a carga varia com o tempo de acordo com a função:

Onde , lembrando que .

Então, logo de cara, já podemos calcular algumas coisas?

Substituindo esses caras na expressão de , teremos:

Para descobrir os valores de e , teremos que usar as condições iniciais do problema.

De acordo com o enunciado, e . Então vamos utilizar essas informações pra descobrir os valores de e , ok?

Além disso:

Utilizando a igualdade trigonométrica , teremos:

Elevando os dois lados ao quadrado:

Finalmente:

Voltando para a primeira condição de contorno, teremos:

Substituindo e na expressão de , teremos:

O circuito oscilante da figura possui resistência desprezível. O capacitor vale e, em , possui carga . O indutor, também em , possui energia e está sendo atravessado pela corrente com o sentido mostrado na figura. Calcule a carga máxima no capacitor.

A energia total do circuito será a soma das energias do indutor e do capacitor, logo:

Onde .

O capacitor terá carga máxima quando toda a energia do circuito estiver armazenada nele, logo:

Finalmente:

1. Qual é a energia total do circuito?

A energia total do circuito será igual à soma das energias acumuladas no capacitor e no indutor.

Onde:

Logo:

Bom... agora é só substituir os valores e ser feliz.

Substituindo os valores, vamos encontrar o seguinte:

Passo 2

2. Qual é a carga máxima do capacitor?

O capacitor terá carga máxima quando toda a energia do circuito for igual a (quando for igual a zero), logo:

Passo 3

3. Qual é a corrente máxima?

Nesse caso, a corrente máxima passará pelo circuito quando (quando for nulo), logo:

Passo 4

4. Qual é o período de oscilação da corrente no circuito?

A frequência angular de oscilação é dada por:

Como , temos:

Passo 5

5. Sabendo-se que a carga do capacitor é dada por , qual o valor de ?

Voltando no enunciado, ele nos diz que, quando , . Agora o nosso único trabalho é isolar o .

1. A indutância do indutor;

Em um circuito , toda a energia armazenada é dada por:

Onde o primeiro corresponde à parcela de energia armazenada no capacitor e o segundo corresponde à parcela de energia armazenada no indutor.

O que acontece aqui é que quando a carga no capacitor é máxima, a corrente é nula. E quando a corrente no indutor é máxima, a carga no capacitor é nula.

Assim, usando a equação acima e partindo do princípio que toda a energia do circuito se conserva, podemos associar a carga máxima com a corrente máxima por:

O problema nos deu a corrente máxima e a capacitância . Para descobrir a carga máxima , usaremos a diferença de potencial máxima no capacitor, dada pelo problema.

Passo 2

Onde e .

Voltando ao problema, agora podemos calcular a indutância. Onde

Passo 3

2. A frequência das oscilações;

Para um circuito , a frequência das oscilações é dada por:

Agora é só ser feliz.

Passo 4

3. O tempo para que a carga do capacitor cresça de zero até seu valor máximo;

A carga do capacitor vai oscilar com frequência .

Podemos associar com o período da oscilação através da relação:

Vamos imaginar que, inicialmente, a carga no capacitor é máxima.

Quando , a carga do capacitor final vai ser igual à inicial, máxima... ou seja, .

Quando , a carga final do capacitor vai ser a carga mínima... ou seja, .

Quando , a carga final do capacitor vai ser igual a zero... ou seja, . Este é exatamente o caso do problema, onde a variação da carga, em módulo é . Isso acontece quando .

1. Escreva a equação diferencia da carga na placa superior do capacitor. Explicite a condição inicial para .

Bom, sabemos que a soma de todas as ddps de um circuito deve ser nula, certo? Logo:

Mas sabemos que ... substituindo isso aqui em cima:

Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e podemos escrevê-la como:

A condição inicial é que inicialmente, a carga na placa superior do capacitor seja máxima.

Passo 2

2. Determine a carga na placa superior e a corrente no circuito para e que satisfazem as condições iniciais.

Beleza! Conforme eu falei, a equação:

É uma equação diferencial de segunda ordem e a cara dela é bem familiar... ela tem a mesma cara da equação para um sistema massa-mola sem amortecimento.

A solução dessa equação diferencial vai ser algo do tipo:

Sabemos que em , . Logo:

Além disso, sabemos que em , .

Portanto, a solução da equação diferencial é:

Passo 3

3. O indutor é formado por um solenoide muito longo de comprimento e diâmetro com voltas de fio uniformemente enroladas em um núcleo de plástico (a permeabilidade do plástico é igual à do vácuo). Calcule a indutância.

A indutância é dada por:

Então temos que começar nos preocupando com o fluxo do campo magnético.

O campo magnético de um solenoide é dado por:

O fluxo do campo magnético para um solenoide com espiras é dado por:

Agora podemos finalmente calcular a indutância:

Passo 4

4. Qual é a nova frequência angular de oscilação se o núcleo de plástico for substituído por um núcleo de ferro com permeabilidade magnética ? Expresse sua resposta em termos da frequência angular do circuito com o solenoide com núcleo de plástico.