Filtros Polarizadores

Letra a)

Neste caso a porcentagem de luz que atravessa o filtro permanece constante pois ela não depende do ângulo do polarizador quando a luz é não-polarizada. Podemos observar isso na intensidade resultante.

Letra b)

Como o é perpendicular ao , anteriormente nenhuma fração da luz atravessava o polarizador.

Com a rotação do filtro, a direção de polarização da luz e o eixo do polarizador deixam de ser perpendiculares, e alguma fração da luz consegue atravessar.

Então a porcentagem da luz que atravessa o filtro aumenta.

Letra c)

Se a luz é polarizada ao longo do , assim como o eixo do filtro, então toda a luz conseguia atravessar o polarizador.

Porém, ao girarmos o polarizador, a direção de polarização da luz e o eixo do filtro deixam de ser paralelos, e parte da luz começa a ser retida.

Isso significa que a porcentagem da luz que passa pelo filtro diminui.

O problema nos diz que quando o ângulo entre o eixo de polarização do filtro e a direção de polarização da luz é , a intensidade do feixe emergente é .

Logo, sendo a intensidade da luz antes de passar pelo polarizador, temos que:

Queremos descobrir o valor do ângulo entre o eixo de polarização do filtro e a direção original da polarização da luz para que

Vamos começar substituindo por .

Letra a)

Vamos chamar a componente horizontal de e a componente vertical de .

Como a componente horizontal é 2,3 vezes maior que a vertical, , para sabermos a fração do campo elétrico na horizontal precisamos considerar que o campo elétrico incidente é a soma vetorial da sua componente vertical e da sua componente horizontal.

Apenas a componente vertical atinge os olhos do banhista. Isso significa que a amplitude que passa pelos óculos é .

A fração da intensidade luminosa total que vai chegar aos olhos do banhista vai ser:

Logo, 16% da intensidade total chegam aos olhos do banhista.

Letra b)

Quando o banhista se deita de lado, o eixo de polarização dos óculos roda . Logo, Agora ele elimina totalmente a componente vertical do campo elétrico. Apenas a componente horizontal atinge seu olho.

Vamos então repetir o raciocínio anterior.

Temos então que da intensidade total chegam aos olhos do banhista.

Como já dizia Jack Estripador: Vamos por partes.

Primeiro, vejamos a intensidade que passa pelo primeiro polarizador.

Como a luz é inicialmente não-polarizada, essa intensidade vai ser:

Onde é a intensidade da luz inicial.

A luz transmitida pelo primeiro polarizador está linearmente polarizada ao longo do eixo do filtro. Pela imagem, o ângulo entre essa direção e o eixo de polarização do segundo polarizador seria

Onde somamos os ângulos pois um gira horário e o outro anti-horário.

Isso significa que a intensidade transmitida pelo segundo polarizador vai ser:

No terceiro polarizador, o ângulo entre a direção de polarização e a direção do eixo é:

Isso nos dá o mesmo resultado de antes:

A intensidade da luz que emerge do conjunto é

Isso significa que aproximadamente da intensidade inicial foi transmitida pelo conjunto.

Quando luz não-polarizada atravessa um polarizador ela emerge com metade da intensidade com a polarização na direção do eixo de polarização. Logo:

Isso significa que apenas da luz incidente é transmitida.

A luz que é transmitida por um polarizador tem a sua polarização na direção do eixo do polarizador. Isso significa que o ângulo que a luz que sai de um polarizador faz com o polarizador seguinte é o mesmo ângulo que os eixos dos filtros fazem entre si.

Como esse ângulo é sempre de , a intensidade será reduzida pelo mesmo fator em cada parte. Assim, temos:

Logo, a fração da luz transmitida é de:

Assim, a fração da luz transmitida pelo conjunto é de .

Se trata de um problema de polarização linear.

O problema todo se trata de um arranjo de polarizadores com ângulos de inclinação do eixo de polarização diferentes.

Tanto na letra a), quando na letra b), somos pedidos para calcular a intensidade . Sabemos que, nesse caso a intensidade da luz após passar por dois polarizadores é dada por

Onde é o ângulo formado pelos eixos de polarização.

Letra a)

Conforme dissemos anteriormente, quando uma luz não-polarizada incide sobre um polarizador ideal, a intensidade transmitida é exatamente a metade da intensidade da luz não-polarizada.

Assim, a intensidade no ponto será:

Agora, usando a fórmula citada no Passo 1 para descobrir a intensidade no ponto , temos que:

Onde

;

;

;

Logo:

Seguindo o mesmo princípio:

Agora, será o ângulo formado pelos eixos de polarização do segundo e do terceiro polarizador. Assim:

;

;

;

Logo:

Letra b)

Agora,

Retirando o polarizador do meio, temos que:

;

;

;

Logo:

Vamos fingir que conhecemos o ângulo e calcular a intensidade transmitida pelo conjunto.

Ao passar no primeiro polarizador, a intensidade fica

Como o segundo faz com a direção de polarização inicial, seu ângulo com o eixo do primeiro polarizador é

Pelo que enunciado nos diz, essa intensidade vai ser da inicial:

Juntando as duas equações:

Agora, para achar o ângulo , precisamos resolver essa equação.

Inicialmente podemos tentar rearranjar o lado direito da equação. Tem uma relação trigonométrica que nos diz o seguinte:

Substituindo:

Daqui, tem diferentes maneiras de prosseguir pra resolver essa equação, e você pode escolher a que mais se adequar ao seu jeito.

Mas eu vou tentar seguir o caminho que me dê menos trabalho.

Para isso, vou usar mais uma relação trigonométrica:

E podemos reescrever a equação acima.

E agora resolver:

Um dos valores para o qual vale essa equação é

Porém, esse não é o único valor possível, pois tem outra relação trigonométrica que diz que

Isso significa que obteríamos o mesmo valor para

Vamos analisar uma curva de cada vez, e ver se ela poderia representar bem a intensidade transmitida pelo nosso sistema de três filtros.

Primeiro, olhemos para a curva .

Quando a luz atravessa o primeiro polarizador, ela sai com a polarização ao longo do eixo , e a intensidade que ela perde no segundo polarizador depende do ângulo do mesmo pela lei de Malus:

Isso significa que a intensidade que sai do sistema deveria variar com , enquanto a curva é constante para qualquer um desses ângulos.

Poderíamos pensar que talvez o terceiro filtro fizesse de alguma forma a intensidade ficar constante, mas isso é impossível, porque para , a luz chega no terceiro polarizador com polarização perpendicular ao seu eixo, e com isso o sistema não deixaria passar nenhuma intensidade.

Porém, a medida que vamos girando, isso deixa de ocorrer, e alguma intensidade passa. Então a curva não pode ser constante.

O mesmo argumento pode ser usado para mostrar que a curva também não pode representar a intensidade transmitida.

Vamos agora visualizar a curva . Ela não é constante, o que faz ela ser melhor candidata que ou (inclusive, ela tem um formato parecido com o gráfico de )

Mas nós comentamos antes que para , o sistema não deixa passar nenhuma intensidade. Na curva , a intensidade é máxima para esse ângulo!

Só nos sobra a curva , que assim como a curva é uma boa candidata.

De fato, ela conserta o erro da curva : a curva dá uma intensidade zero para , e a intensidade máxima vem apenas depois.

Temos então que a nossa resposta é a curva .

Como a luz inicial é não-polarizada, a intensidade transmitida pelo primeiro polarizador é

Independente do ângulo do seu eixo de polarização.

Pela imagem, o ângulo do primeiro e do segundo filtro são medidos no mesmo sentido. Isso significa que o ângulo entre os dois eixos é:

A intensidade transmitida pelo conjunto vai ser:

Agora que sabemos qual a intensidade transmitida, nós queremos compará-la com o gráfico.

Vemos que 9 unidades no eixo horizontal correspondem a . Isso significa que cada unidade corresponde a , e com isso vemos que para , a intensidade transmitida é nula.

A intensidade ser nula implica que o eixo dos dois polarizadores são perpendiculares um ao outro. O ângulo do primeiro eixo é então .

Nossa equação então fica:

Substituindo teremos:

O conjunto transmite apenas da intensidade inicial.

Letra a)

Se tentássemos colocar um polarizador com eixo perpendicular à direção de polarização da luz nós não teríamos luz transmitida.

Porém, se colocássemos um segundo polarizador entre a luz e o filtro inicial de forma que ele fizesse um ângulo com a direção de polarização da luz, as ondas que sairiam dele não seriam perpendiculares ao eixo do segundo polarizador, e assim nós conseguimos girar o feixe de luz em com apenas 2 polarizadores.

O número mínimo de filtros necessário é dois.

Letra b)

Sabemos que a intensidade da luz que sai de um sistema composto por vários polarizadores depende do ângulo entre cada par de polarizadores consecutivos.

Se o ângulo entre esse par de filtros for , a intensidade da luz que sai do segundo polarizador vai ser dada pela lei de Malus.

Assim, quanto maior o nosso ângulo , menor a intensidade transmitida. Isso significa que não poderemos usar ângulos muito grandes entre eles.

Vamos considerar que o ângulo entre quaisquer dois polarizadores consecutivos é igual, e que temos polarizadores. Para girarmos , precisamos ter, em média:

Quando a luz passar pelo primeiro polarizador, a intensidade emergente vai ser:

Quando ela passar pelo segundo:

Pelo terceiro:

E por aí vai, até que ao passar pelo sistema todo, teremos:

Mas o enunciado pede que:

Ou seja, precisamos achar o valor de para o qual:

Acontece que isso não é nem de longe uma equação fácil de resolver.

Embora a nossa equação não seja fácil de resolver, nós podemos forçar a barra.

Como é o número de polarizadores, ele só pode ser um número natural

Então, vamos testar a fórmula com vários valores de e ver quando que chegamos lá. Se dermos sorte, o que procuramos não vai ser um valor muito grande tipo ou algo assim.

Por sorte, o nosso valor então é !

(Não foi sorte, eu já sabia que ia ser , mas porque eu fiz antes de explicar aqui como faz. Mas a primeira vez que a gente faz é na sorte mesmo)

Se usássemos ângulos que variassem, embora as contas fossem mudar um pouco, nosso resultado não iria.

Isso é porque caso colocássemos um polarizador com ângulo muito pequeno, pra perder pouca intensidade, até chegarmos a , o próximo teria que ser muito grande e perderia muita intensidade, e vice versa.

Por isso no fim nós recairíamos em polarizadores de qualquer forma. Você pode pensar em como sendo o “valor médio” da fração de intensidade transmitida. Se um polarizador transmitir mais que isso, o próximo vai ter que transmitir menos (para a luz girar com o mínimo de polarizadores possível).

O máximo que, talvez, poderíamos conseguir é atingir um valor ainda mais próximo de .

A primeira coisa que precisamos fazer é entender o que o gráfico pode nos dizer sobre o nosso conjunto de polarizadores.

Sabemos que nenhuma intensidade é transmitida quando o eixo do polarizador é perpendicular à direção de polarização. Assim, quando o segundo polarizador fizer um ângulo de com o primeiro ou o terceiro, a intensidade vai ser zero.

Isso acontece quando o ângulo é , o que significa que um dos dois polarizadores faz com o .

Quando o ângulo é , temos novamente intensidade zero, o que nos diz que um dos dois polarizadores faz um ângulo de com o .

E com isso, já temos uma informação clara: Independente de qual polarizador dentre o primeiro e o terceiro faz e qual faz com o , pelo menos sabemos que ambos são perpendiculares entre si.

Como a luz incidente é não polarizada, a intensidade que passa pelo primeiro polarizador independe do seu ângulo de polarização. Então tanto faz o ângulo que a gente der pra ele.

Vamos considerar que o primeiro polarizador faz com o e que o terceiro faz .

Queremos saber a intensidade que passa pelo conjunto quando .

Vejamos a intensidade ao passar por cada polarizador:

Resumindo, a intensidade que sai do sistema é

A porcentagem da intensidade inicial transmitida é de aproximadamente .

Vamos primeiro dar nome aos bois. A luz incidente é em parte polarizada e em parte não-polarizada. Consideremos que a sua intensidade é de e que a fração correspondente à parte polarizada seja e a fração correspondente à parte não-polarizada seja . Temos:

Quando ela passar pelo polarizador, cada parte sofre um efeito diferente. A intensidade da parte não-polarizada transmitida é

E a da parte polarizada transmitida é

Onde é o ângulo entre o eixo do polarizador e o eixo da fração polarizada da luz incidente.

Assim, a luz que emerge do polarizador tem uma intensidade dada por:

O que significa que parte da intensidade varia com o ângulo, e parte não varia.

Outra informação que o enunciado nos dá é que em uma rotação completa do polarizador, a intensidade varia por um fator de . Isso significa que a intensidade máxima é vezes maior que a intensidade mínima.

A parte da intensidade que varia com o ângulo varia de (quando o eixo de polarização é perpendicular à direção da polarização) a (quando eles são paralelos).

A intensidade mínima é então dada por:

Enquanto a intensidade máxima é:

Agora, vamos encontrar a razão entre as duas.

E encontramos o quanto a fração da intensidade correspondente à parte polarizada é maior do que a fração corresponde à parte não polarizada.

Podemos tentar encontrar qual fração está associada à luz polarizada. Vamos substituir o resultado do passo 2 na intensidade inicial da luz.

O que nos diz que 67% da luz é polarizada.