Teoria

Introdução a Ondas Sonoras

O que é uma onda sonora?

A onda sonora é definida como um tipo de propagação de energia através de um meio por meio de compressão e descompressão adiabática.

Tá, mas até aqui estamos falando grego certo?

Vamos compreender pensando numa situação, imagina que temos um alto falante num meio de moléculas de ar comum, dispersas e resolvemos liga-lo. O que vai acontecer com as moléculas após o alto falante ser ligado?

Algo mais ou menos assim:

As moléculas que antes estariam dispersas agora vão se deslocar, e formar zonas de baixa pressão nos picos de deslocamento. Onde não houver deslocamento ou pouco deslocamento as moléculas vão se comprimir em zonas de alta pressão.

Essa onda mostrada é uma onda longitudinal e mecânica.

Onde uma onda longitudinal é aquela em que a direção de propagação é a mesma direção de oscilações do meio.

E ser uma onda mecânica significa que ela tem necessidade de um meio para propagar!

Por isso, as ondas sonoras são ondas de pressão e ondas de deslocamento, pois exercem uma pressão e o meio se desloca à medida que a onda se propaga.

Tá beleza, mas e aí, como vamos calcular esse tipo de onda?

Módulo de compressibilidade a velocidade do som

Existem alguns parâmetros que precisamos conhecer antes de partirmos pros cálculos e dois deles são o módulo de compressibilidade e a velocidade do som.

O módulo de compressibilidade é o que mede se um gás pode ser muito ou pouco comprimido.

Quando o gás pode ser muito comprimido, o módulo de compressibilidade é baixo, e quando pode ser pouco comprimido, é alto.

O módulo de compressibilidade é representado pela letra B . Ele pode ser calculado por:

B = ρ v 2

Onde ρ é a densidade do gás e v a velocidade do som.

Daí tiramos que a velocidade do som pode ser calculada assim:

v = B ρ

A velocidade do som no ar é uma constante que tem módulo de valor:

v s o m = 340 m / s

E se essa velocidade for superada, o que acontece?

Velocidade supersônica

Você já deve ter ouvido falar nisso, certo? Existem jatos que voam com velocidades supersônicas, que é quando se ultrapassa a velocidade do som em um meio.

v > v s o m

v > 340 m / s

Quando um objeto se desloca a uma velocidade superior a essa (velocidade supersônica), ele rompe a barreira do som e ocorre um estampido ou estalo.

Ondas Progressivas

Mas como é que eu escreveria uma onda sonora?

Ah, som é uma onda, então o som também deve ter uma função do tipo abaixo que o descreva, certo?

y x , t = A c o s k x ∓ ω t + φ

Vamos entender um pouco de como funciona uma onda sonora matematicamente.

Vamos fazer isso analisando os deslocamentos e variações de pressão associados a uma onda sonora que se propaga no ar. Beleza? Vamos lá!

Função de deslocamento

A função que descreve o deslocamento de uma onda sonora é bem parecida com a função que aprendemos para uma onda qualquer.

Essa função é:

s x , t = S m c o s k x - ω t

Sendo:

S m = a m p l i t u d e

Obs: O deslocamento pode ser dado como função seno também, mas por convenção usaremos a função cosseno, beleza?

Vamos dar uma olhada num gráfico desse tipo de função para as seguintes condições:

k = 1

t = 0

S m = 10 μ m

Ou seja:

s x = 10 cos ⁡ 1 x - 0 = 10 c o s ⁡ ( x )

Teríamos algo do tipo:

Função da variação de pressão

Bom, as ondas de pressão são funções que indicam a variação de pressão de um gás com o passar do tempo.

Essas funções têm uma ligação com a função deslocamento da onda sonora e se relacionam por:

p x , t = - B ∂ s x , t ∂ x

Vamos derivar a expressão de s ( x , t ) que vimos antes e reescrever essa acima:

p x , t = - B . ∂ s x , t ∂ x = - B . - S m k s e n k x - ω t = B k S m s e n ( k x - ω t )

B é o módulo de compressibilidade e vale:

B = ρ v 2

E reescrevendo a equação ela fica da seguinte forma:

p ( x , t ) = ρ v ² k S m s e n ( k x - ω t )

Onde

Δ p m = ρ v 2 k S m . Podemos substituir por k = ω v e chegamos a:  

Δ p m = ρ v ω S m

E enfim a equação da variação de pressão fica:

∆ p = ∆ p m s e n ( k x - ω t )

Se liga em como é o gráfico, pra um exemplo onde ∆ P m = 30 P a e temos t = 0 .

Lembrando que todas as relações que usamos para ondas, valem nas ondas sonoras também!! Afinal, elas continuam sendo ondas, não vamos excluí-las só por serem sonoras né?

Pra fixar tudo o que foi visto vamos calcular a velocidade pra onda abaixo, e também a variação máxima de pressão se essa onda se propaga no ar.

s x , t = 2 × 10 - 2 c o s 0,5 π x - 300 π t c m

Após isso vamos esboçar o gráfico da variação de pressão e da posição e compará-los.

Bom, comparando com o que vimos logo ali em cima na função deslocamento de uma onda, da equação a gente tira que:

k = 0,5 π

ω = 300 π

S m = 2 × 10 - 2 c m

Com isso, sabemos que em uma onda vale:

v = λ f

Para achar o valor de λ :

λ = 2 π k = 2 π 0,5 π

λ = 4   m

Para achar o valor de f :

ω = 2 π f

f = ω 2 π = 300 π 2 π

f = 150   H z

Agora é só substituir na fórmula da velocidade:

v = λ f

v = 4 × 150 = 600   m / s

E a variação de pressão dessa onda é dada por:

Δ p m = ρ v ω S m

Onde

ρ = ρ a r = 1,23 k g / m 3

S m = 2 × 10 - 2 c m = 2 × 10 - 4 m

∆ p m = 1,23 × 600 × 300 π × 2 × 10 - 4

∆ p m = 139 P a

Beleza, agora é só esboçarmos os dois gráficos para t = 0 e compará-los. Vamos esboçar o gráfico para um valor de x de 0 até 10 c m , e observar o comportamento.

A função deslocamento fica:

s x = 2 × 10 - 2 cos ⁡ 0,5 π x

Vamos converter a escala da amplitude pra μ m e assim a comparação será numa escala mais compatível:

2 × 10 - 4 m = 200 × 10 - 6 m = 200 μ m

s x = 200 c o s ⁡ ( 0,5 π x )

Pra esboçar esse gráfico é bem tranquilo, é só calcular a função para x = 0 ,     x = 2 ,   x = 4 e após isso repetir o movimento pois aí teremos os múltiplos de π e 2 π .

Os cálculos da trigonométrica serão feitos em radianos.

s 0 = 200 cos ⁡ 0,5 π . 0 = 200 μ m

s 2 = 200 cos ⁡ 0.5 π × 2 = - 200 μ m

s 4 = 200 × 0,5 π × 4 = 200 μ m

Daí o gráfico fica com essa cara:

E o gráfico da variação de pressão, como vai ficar para t = 0 ?

Primeiro a gente pega a equação com a amplitude encontrada.

∆ p = ∆ p m s e n ( k x - ω t )

Substituindo o valor e fazendo t = 0 :

∆ p = 139 s e n ( 0,5 π x )

E aqui os pontos importantes são os quais onde o seno dá 1 ,   0   ou - 1 e para esses pontos analisaremos os valores de x = 0 ,   x = 1 e x = 3 :

∆ p 0 = 139 s e n 0,5 π × 0 = 0

∆ p 1 = 139 s e n 0,5 π × 1 = 139 P a

∆ p 3 = 139 s e n 0,5 π × 3 = - 139 P a

E o gráfico fica desse jeito:

Comparando os dois gráficos temos:

Esse ϕ que apareceu é a diferença de fase entre as duas ondas, podemos reescrever a função da variação de pressão como um cosseno também, mas considerando essa diferença de fase entre as ondas.

∆ p = ∆ p m cos ⁡ k x - ω t + ϕ

Repara que o gráfico azul da posição tem maior amplitude nessa escala portanto é aumentado em relação ao gráfico da diferença de pressão.

Agora é partir pra prática!

Velocidade supersônica

Ondas Progressivas

Função de deslocamento

Função da variação de pressão

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