Introdução a Ondas Sonoras
Teoria
Introdução a Ondas Sonoras
O que é uma onda sonora?
A onda sonora é definida como um tipo de propagação de energia através de um meio por meio de compressão e descompressão adiabática.
Tá, mas até aqui estamos falando grego certo?
Vamos compreender pensando numa situação, imagina que temos um alto falante num meio de moléculas de ar comum, dispersas e resolvemos liga-lo. O que vai acontecer com as moléculas após o alto falante ser ligado?
Algo mais ou menos assim:
As moléculas que antes estariam dispersas agora vão se deslocar, e formar zonas de baixa pressão nos picos de deslocamento. Onde não houver deslocamento ou pouco deslocamento as moléculas vão se comprimir em zonas de alta pressão.
Essa onda mostrada é uma onda longitudinal e mecânica.
Onde uma onda longitudinal é aquela em que a direção de propagação é a mesma direção de oscilações do meio.
E ser uma onda mecânica significa que ela tem necessidade de um meio para propagar!
Por isso, as ondas sonoras são ondas de pressão e ondas de deslocamento, pois exercem uma pressão e o meio se desloca à medida que a onda se propaga.
Tá beleza, mas e aí, como vamos calcular esse tipo de onda?
Módulo de compressibilidade a velocidade do som
Existem alguns parâmetros que precisamos conhecer antes de partirmos pros cálculos e dois deles são o módulo de compressibilidade e a velocidade do som.
O módulo de compressibilidade é o que mede se um gás pode ser muito ou pouco comprimido.
Quando o gás pode ser muito comprimido, o módulo de compressibilidade é baixo, e quando pode ser pouco comprimido, é alto.
O módulo de compressibilidade é representado pela letra Ele pode ser calculado por:
Onde é a densidade do gás e a velocidade do som.
Daí tiramos que a velocidade do som pode ser calculada assim:
A velocidade do som no ar é uma constante que tem módulo de valor:
E se essa velocidade for superada, o que acontece?
Velocidade supersônica
Você já deve ter ouvido falar nisso, certo? Existem jatos que voam com velocidades supersônicas, que é quando se ultrapassa a velocidade do som em um meio.
Quando um objeto se desloca a uma velocidade superior a essa (velocidade supersônica), ele rompe a barreira do som e ocorre um estampido ou estalo.
Ondas Progressivas
Mas como é que eu escreveria uma onda sonora?
Ah, som é uma onda, então o som também deve ter uma função do tipo abaixo que o descreva, certo?
Vamos entender um pouco de como funciona uma onda sonora matematicamente.
Vamos fazer isso analisando os deslocamentos e variações de pressão associados a uma onda sonora que se propaga no ar. Beleza? Vamos lá!
Função de deslocamento
A função que descreve o deslocamento de uma onda sonora é bem parecida com a função que aprendemos para uma onda qualquer.
Essa função é:
Sendo:
Obs: O deslocamento pode ser dado como função seno também, mas por convenção usaremos a função cosseno, beleza?
Vamos dar uma olhada num gráfico desse tipo de função para as seguintes condições:
Ou seja:
Teríamos algo do tipo:
Função da variação de pressão
Bom, as ondas de pressão são funções que indicam a variação de pressão de um gás com o passar do tempo.
Essas funções têm uma ligação com a função deslocamento da onda sonora e se relacionam por:
Vamos derivar a expressão de que vimos antes e reescrever essa acima:
é o módulo de compressibilidade e vale:
E reescrevendo a equação ela fica da seguinte forma:
Onde
. Podemos substituir por e chegamos a:
E enfim a equação da variação de pressão fica:
Se liga em como é o gráfico, pra um exemplo onde e temos
Lembrando que todas as relações que usamos para ondas, valem nas ondas sonoras também!! Afinal, elas continuam sendo ondas, não vamos excluí-las só por serem sonoras né?
Pra fixar tudo o que foi visto vamos calcular a velocidade pra onda abaixo, e também a variação máxima de pressão se essa onda se propaga no ar.
Após isso vamos esboçar o gráfico da variação de pressão e da posição e compará-los.
Bom, comparando com o que vimos logo ali em cima na função deslocamento de uma onda, da equação a gente tira que:
Com isso, sabemos que em uma onda vale:
Para achar o valor de :
Para achar o valor de :
Agora é só substituir na fórmula da velocidade:
E a variação de pressão dessa onda é dada por:
Onde
Beleza, agora é só esboçarmos os dois gráficos para e compará-los. Vamos esboçar o gráfico para um valor de de 0 até , e observar o comportamento.
A função deslocamento fica:
Vamos converter a escala da amplitude pra e assim a comparação será numa escala mais compatível:
Pra esboçar esse gráfico é bem tranquilo, é só calcular a função para e após isso repetir o movimento pois aí teremos os múltiplos de e .
Os cálculos da trigonométrica serão feitos em radianos.
Daí o gráfico fica com essa cara:
E o gráfico da variação de pressão, como vai ficar para
Primeiro a gente pega a equação com a amplitude encontrada.
Substituindo o valor e fazendo :
E aqui os pontos importantes são os quais onde o seno dá ou e para esses pontos analisaremos os valores de e :
E o gráfico fica desse jeito:
Comparando os dois gráficos temos:
Esse que apareceu é a diferença de fase entre as duas ondas, podemos reescrever a função da variação de pressão como um cosseno também, mas considerando essa diferença de fase entre as ondas.
Repara que o gráfico azul da posição tem maior amplitude nessa escala portanto é aumentado em relação ao gráfico da diferença de pressão.
Agora é partir pra prática!
Velocidade supersônica
Ondas Progressivas
Função de deslocamento
Função da variação de pressão
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFRJ, Física 2, Prova 2, 2014.1 – ME02
Uma onda sonora:
- Se propaga no vácuo com uma velocidade de
- Não se propaga no vácuo pois é acompanhada de um transporte de matéria.
- Transporta energia
- É uma onda de pressão
- É uma onda de deslocamento
São verdadeiras:
- , e
- , e
- , e
- , e
- , e
- , e
- , , e
Passo 1
Vamos ver as afirmações
Falso,
A onda sonora não se propaga no vácuo, porque ela é uma onda mecânica
Passo 2
Falso,
A onda sonora é uma onda mecânica, e como vimos na teoria ela transporta energia e não matéria. Ela não se propaga no vácuo porque o transporte de energia, na onda sonora, é feita pela diferença de pressão no meio, como no vácuo não tem pressão ela não se desloca.
Passo 3
Verdadeiro
Já vimos o porquê nos passos anteriores
Passo 4
Verdadeiro,
Como vimos no passo 2, a onda mecânica depende da diferença de pressão no meio para se deslocar, uma onda de pressão é uma onda onde isso acontece.
Passo 5
Verdadeiro
A onda sonora desloca as partículas quando ela passa, sendo assim uma onda de deslocamento.
Resposta
Letra D
Exercício Resolvido #2
Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 173-9
Um aparelho de ultra-som, com uma frequência de , é usado para examinar tumores em tecidos moles.
- Qual é o comprimento de onda no ar das ondas sonoras produzidas pelo aparelho?
- Se a velocidade do som no tecido é , qual é o comprimento de onda no tecido das ondas produzidas pelo aparelho?
Passo 1
Sabemos que
Sabemos também que a velocidade onda no ar é .
Então
Passo 2
Vamos agora aplicar a mesma relação para o tecido. A única coisa que muda é a velocidade.
Resposta
Exercício Resolvido #3
Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 173-10
A pressão de uma onda sonora progressiva é dada pela equação
Determine
- A amplitude
- A frequência
- O comprimento de onda
- A velocidade da onda
Passo 1
- Sabemos que a amplitude (valor máximo) de uma onda é sempre o valor que é multiplicado pelo seno, já que o sen é uma função que varia de até .
Sendo assim, no caso da equação acima, o valor da amplitude é .
Passo 2
Sabemos que
Então no caso da questão,
e
Sabemos também que
Passo 3
Sabemos também que
Passo 4
A velocidade é igual a
Então,
Resposta
Exercício Resolvido #4
Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 173-2
Uma coluna de soldados, marchando a passos por minuto, segue o ritmo da batida de uma tambor que é tocado na frente da coluna. Observa-se que os últimos soldados da coluna estão levantando o pé esquerdo quando os primeiros soldados estão levantando o pé direito. Qual é o comprimento aproximado da coluna?
Dado: velocidade do som no ar: .
Passo 1
Podemos ver que o tempo que o soldado leva para trocar da perna esquerda para a perna direita é o tempo de cada passada, logo:
Passo 2
Como os últimos soldados estão levantando o pé esquerdo quando os primeiros soldados estão levantando o direito, chegamos a conclusão que esse tempo de cada passada, é também o tempo do som chegar do início até o o final da coluna.
Sabendo a velocidade do som no ar:
Podemos aplicar:
Sendo c o comprimento da coluna:
Resposta
Exercício Resolvido #5
PUCRIO, Física 2, Prova 2, 2012.1 –2
O deslocamento das partículas em uma onda sonora que se propaga no ar, cuja densidade é , é dado pela função
Através de cálculos adequados, obtenha a função da variação da pressão em função de e , não esquecendo as unidades.
Passo 1
A amplitude da pressão sonora é definida por:
Vamos começar determinando e .
Pela função , vemos que:
A função , nos dá mais uma informação, temos que o número de onda , desse modo, o comprimento de onda é dado por:
Podemos agora, determinar a velocidade, pois:
Ou seja:
Passo 2
Quando o deslocamento for zero, a pressão será máxima ou mínima, portanto, a função variação de pressão terá um diferença de fase de em relação ao deslocamento.
Agora que já temos tudo calculado, podemos substituir e determinar a variação de pressão :
Sabendo da relação, , temos que:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 173-11
Se a forma de uma onda sonora que se propaga no ar é:
Quanto tempo uma mólecula de ar no caminho onda leva para se mover entre os deslocamentos e ?
Passo 1
Quando , consideramos e e podemos descobrir
Quando fazemos isso na equação, chegamos a:
Passo 2
Vimos então que como a diferença de fase é de , podemos escrever a equação de , como:
Não se esqueça! Seno e cosseno são complementares!
Como estamos analisando o deslocamento, podemos colocar, , pois ele é descrito em função do tempo.
No ponto , a função é descrita como:
Vamos agora calcular o valor de t para .
Passo 3
Vimos que para o deslocamento de , o tempo é .
Então, para o deslocamento de de até , o tempo é .
Resposta
Exercício Resolvido #7
USP, Física 2, Prova 1, 2014.1 – Questão 3
As funções de onda de pressão, densidade e deslocamento de uma onda sonora unidimensional são, respectivamente, e . Podemos dizer que:
- e estão sempre em quadratura( defasagem de .
- e interferem de maneira destrutiva.
- As três funções estão sempre em fase.
- e estão sempre em fase.
- e estão sempre em fase.
Passo 1
Bom galera, aqui a gente vai precisar lembrar as equações que relacionam o deslocamento com a variação de pressão e densidade .Elas são:
Onde é o módulo de compressibilidade.
E a densidade vai ser:
Onde é a densidade de equilíbrio do ar.
Vamos calcular logo essa derivada parcial já que ela aparece nas duas fórmulas:
Sendo :
Passo 2
Beleza, então as funções vão ser:
O que nós podemos perceber? Que essas funções, por serem funções seno, estão defasadas em 90 graus em relação à função deslocamento, que é uma função de cosseno. Além disso, essas duas funções estão em fase.
Resposta
Resposta: d)