Colisão Elástica

Para determinar a velocidade das bolinhas após a colisão, vamos utilizar do dado que a colisão é elástica logo conserva energia mecânica.

Antes da colisão temos somente as bolinhas se movimentando, portanto só temos energia cinética, temos então:

Substituindo os valores, temos:

Depois da colisão, também teremos somente energia cinética, temos então:

Onde e são as velocidades depois da colisão das bolinhas e respectivamente.

Substituindo os valores, temos:

Igualando a energia antes com a energia depois, temos:

Vishh, temos duas variáveis e e só uma equação, por isso, temos que utilizar outro artifício, devemos lembrar que em uma colisão em um sistema isolado (sem ação de outras forças), temos que o momento linear sempre se conserva! Vamos então utilizar a conservação do momento linear!

De acordo com a conservação do momento linear, temos:

substituindo os valores, temos:

Pronto!! Agora temos duas equações e duas incógnitas. A primeira equação vem do “passo ”, onde fizemos a conservação da energia mecânica e a segunda equação vem da conservação do momento linear:

Agora é só resolver esse sistema!

Substituindo o valor de na primeira equação, temos:

Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos duas raízes, no entanto, temos que a única raiz possível é:

(a outra raiz é , que é a velocidade antes da colisão, por isso não é uma solução possível já que sabemos que a velocidade tem que mudar!)

Dessa forma, a velocidade da bolinha depois da colisão é:

Por conservação de energia:

Tomando o ponto mais baixo como referencial de energia potencial nula, e lembrando que o pendulo parte do repouso, portanto :

Visto que o enunciado informou para tratarmos como uma colisão elástica, ou seja, sem perdas de energia. Podemos utilizar conservação de energia cinética e conservação de momento linear.

Por conservação de momento linear:

O Pendulo estava em repouso antes da colisão, portanto .

Por conservação de energia cinética:

Novamente, lembremos que

Ficamos então com o sistema:

Substituindo a primeira equação na segunda temos:

Substituindo agora o na primeira equação do sistema:

Substituindo agora que , e .

Lembrando que:

Para a colisão ser elástica, a energia cinética deve se conservar!

Antes da colisão, o bloco está parado, então a energia cinética total do sistema bala+bloco é a energia cinética da bala

Depois da colisão, a velocidade da bala é e a do bloco é . Então a energia cinética final do sistema é

Logo, a equação de conservação da energia cinética é:

Bom, temos as massas as quais queremos saber a razão entre elas, mas ainda temos a velocidade do bloco como incógnita, então temos que descobri-la e faremos isso por conservação de momento linear.

Como estamos estudando uma colisão, e o enunciado ainda fez questão de enfatizar ser instantânea, vamos usar a relação que na colisão há conservação de momento linear, então

Vamos analisar o momento linear antes do impacto:

A bala tem massa e velocidade inicial de módulo , enquanto o bloco tem massa , mas está parado.

Vamos definir o sentido de (pra direita) como positivo. Então o momento linear total do sistema bala+bloco logo antes da colisão, em módulo, é:

Agora o momento linear depois da colisão:

Logo após a colisão, a bala volta com velocidade de módulo no sentido oposto, então sua velocidade agora é negativa. E o bloco vai ter a velocidade , que é justamente o que a gente quer achar!

Então o módulo do momento linear total do sistema logo após a colisão é:

Voltando pra equação da conservação do momento linear:

Agora que temos , podemos resolver a equação que achamos pela conservação de energia, basta multiplicar tudo por 2 e substituir :

Podemos dividir tudo por , aí sobra:

Então pra colisão ser elástica, devemos ter

Quando temos uma colisão elástica, temos que a energia mecânica total do sistema se conserva. No caso do nosso sistema, onde temos duas bolinhas, a equação da conservação da energia mecânica será:

Sabendo que as massas são iguais, e que , temos:

Pela figura, podemos perceber que se trata de uma colisão em duas dimensões, quando isso ocorre, podemos tratar cada coordenada separadamente. Para o momento linear, ou quantidade de movimento, temos:

No eixo :

sabendo que as massas são iguais, e , temos:

No eixo :

sabendo que as massas são iguais, e que , temos:

Agora que temos todas as equações, vamos para a letra !

Para determinar a velocidade final das bolinhas temos que lembrar da relação entre o módulo das velocidades e suas componentes, pela regra do “COlado/SEparado”

sabendo da relação , temos:

Agora que temos as componentes da velocidade final da bolinha em função do módulo da velocidade, podemos agora achar a mesma relação só que para a bolinha !

Pela conservação do momento linear no eixo , temos:

ou seja:

Pela conservação do momento linear no eixo , temos:

Substituindo , temos:

Agora que temos todas as componentes em função do módulo da velocidade final da bolinha , é só substituir na equação da conservação da energia mecânica, se liga no próximo passo!

Pela equação da conservação da energia mecânica, temos:

substituindo os valores em função de :

Substituindo na equação na energia mecânica, podemos determinar a velocidade da bolinha !

Em uma colisão, temos que o momento linear se conserva, pois não atuam forças externas ao sistema. Por se tratar de uma colisão elástica, temos que a energia cinética também se conserva.

Para determinar o vetor impulso, vamos relembrar sua definição:

No caso da placa, como não há movimento no eixo nem antes nem depois da colisão temos que o impulso é zero.

Já no eixo , pela equação de momento temos

Como o momento inicial da placa é zero, pois ela estava em repouso, descobrimos que haverá impulso na direção

Agora só precisamos descobrir o sentido desse vetor. Para isso vamos abrir a equação de momento

Onde é a velocidade da placa depois da colisão, olhando a imagem vemos que a bola vai colidir com a placa e empurrá-la para baixo, assim o único sentido possível para o movimento da placa é para baixo (sentido negativo do eixo ).

Sendo assim definimos o sentido da velocidade da placa que será negativa, implicando que o impulso em será no sentido negativo também.

Assim o vetor impulso na placa é dado por

Agora vamos estudar o caso da bola,

Como no item dissemos que o momento linear se conserva, devido a isso sabemos que o impulso resultante no sistema deve ser zero.

O nosso sistema é composto por bola e placa, terminamos de dizer a direção e sentido do impulso na placa, para que a resultante do impulso no sistema seja zero, temos que o impulso na bola é na mesma direção e módulo do impulso na placa, porém com o sentido oposto.

O impulso na bola pode ser dado por

Para descobrirmos a velocidade final da bola, vamos aplicar conservação de momento em cada eixo do sistema.

Começando pelo eixo , pois apenas a bola consegue se movimentar nesse eixo.

Sendo assim temos que

Cortando a massa e isolando , chegamos na primeira equação

Agora, vamos analisar o eixo , onde por conservação de momento temos

No momento antes da colisão só a bola se movimentava e depois da colisão a bola continua a se movimentar, mas a placa começa a se movimentar também, então podemos reescrever a fórmula acima

Como já vimos é negativa, e podemos cortar a massa, chegamos na nossa segunda equação

Podemos agora substituir a primeira equação na segunda e obtemos

Lembrando que seno dividido por cosseno é tangente e isolando , chegamos na nossa terceira equação

Precisamos de mais uma equação para resolver o problema, já usamos conservação de momento linear, então agora vamos usar o fato que a energia cinética também se conserva.

Então vamos ter

Cortando tudo que se repete nos três termos da equação chegamos na nossa quarta equação

Agora, substituindo a primeira e a terceira equação na quarta temos

Precisamos resolver essa equação agora, podemos cortar

Tirando o do denominador e abrindo a tangente em seno e cosseno

Lembrando da relação fundamental, onde

Assim, chegamos na equação

Temos a solução onde , e a solução onde

Assim, a outra solução é

Essa solução não serve para gente, pois iria violar uma das conservações, basta substituir nas fórmulas para conferir.

Vamos então usar a solução , assim substituindo na primeira equação temos que a velocidade da bola depois da colisão é

Agora, para achar a velocidade da placa depois da colisão é só substituir na equação

Para calcularmos a força média aplicada na bola, vamos usar a fórmula

No “passo 2” vimos que o impulso aplicado na bola é igual

Assim,

Substituindo o valor de , e