Teorema Impulso-Momento Linear
Teoria
O que é Impulso
Desde criança já temos a palavra “impulso” introduzida no nosso vocabulário. Muitas vezes a usamos como sinônimo de “empurrar”, que é aplicar uma força em um objeto por um dado intervalo de tempo.
Quando brincávamos no balanço, sempre tinha alguém nos empurrando (impulsionando) e quanto mais forte e por mais tempo a pessoa impulsionava, mais longe íamos, certo?
Então, é isso mesmo: impulso é a ação de uma força sobre um objeto em um intervalo de tempo.
Assim como a força e o momento linear, o impulso é uma grandeza vetorial, que precisa de sentido, direção e módulo para ser representado corretamente. A fórmula do impulso é dada por:
Como o tempo () é um escalar, o impulso terá a mesma direção e sentido do vetor força .
Vamos poder usar essa fórmula apenas quando a força resultante for uma força constante, ou uma força média em um sistema. Sempre que nos disserem que é constante, ou que temos/queremos calcular a força média no sistema poderemos usar essa fórmula.
Mas e se a força for variável?
Se a força variar no tempo, teremos que fazer o somatório dessa força, e nesse caso, vamos ter:
Dificilmente teremos que integrar nos problemas desse assunto, então pode ficar tranquilo. Temos só que ter em mente que a área sob um gráfico é igual a integral de vezes :
Impulso e Momento Linear
Vou mostrar agora uma relação entre Impulso e momento linear:
É isso, o impulso é igual a variação do momento linear de uma partícula!
E ainda, podemos reescrever essa equação e dizer que a força resultante ou média é:
Revisão
Acabamos de ver várias fórmulas que se relacionam. Vamos rever quando usar cada uma:
- Se falar de Impulso, força (constante/resultante/média) e intervalo de tempo, usamos:
- Se falar de Impulso, força variando (geralmente problema de gráficos) e intervalo de tempo, usamos:
- Se falar de Impulso e momento linear ( massa e velocidade ), usamos:
- Se falar de força (constante/resultante/média), momento linear e intervalo de tempo, usamos:
Mas e se a força for variável?
Impulso e Momento Linear
Revisão
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 256
Uma bola de aço de massa igual a é largada de uma altura de sobre uma barra de aço horizontal. A bola é rebatida até uma altura de . a) Calcule o impulso comunicado para a bola durante a colisão. b) Sabendo que a bola permanece em contato com a barra durante , calcule a força média exercida sobre a bola durante a colisão.
Passo 1
Como calcular o impulso pelo momento linear? A fórmula do impulso é
Então precisamos da velocidade que ela chega no chão e da velocidade que ela é rebatida pelo chão. Para isso vamos olhar os movimentos antes e depois da colisão
Passo 2
Antes da colisão, a bola está em queda livre, os dados do enunciado são
Sabemos a posição inicial, a final e a velocidade inicial, e queremos a velocidade final, então vamos usar Torricelli.
Temos duas opções de velocidade. Vamos escolher a velocidade negativa porque a bolinha está indo para baixo quando chega ao chão, tendo sentido negativo.
Passo 3
Depois da colisão podemos considerar esse movimento como um lançamento vertical, onde não sabemos a velocidade inicial, os dados do enunciado são
Temos um problema igual ao do passo anterior então vamos usar Torricelli novamente
A velocidade é positiva porque depois que a bola quica ela sai com velocidade para cima.
Passo 4
Agora vamos escrever as duas velocidades vetorialmente como estávamos vendo ali no passo 1
Então vamos ter
Passo 5
A relação da força média com o impulso é
Ele nos deu o mas é importante dar uma olhada nessa unidade de tempo
Esse é o milisegundo, unidade que é parecida com o milímetro, mililitro, ele é igual a .
Então
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFF – 2ª Prova – 2014.1
Um bloco de massa repousa sobre um plano inclinado de um ângulo em relação à horizontal. O bloco é subitamente impulsionando, paralelamente ao plano, por uma marreta, parando após percorrer uma distância no plano inclinado, a partir de sua posição inicial, como mostra a figura. Sabendo-se que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é , determine:
O trabalho realizado pela força de atrito durante o deslocamento ;
A velocidade do bloco, imediatamente após a marretada;
O valor do impulso que a marreta imprime o bloco.
Passo 1
Para determinar o trabalho realizado pela força de atrito, vamos relembrar a sua definição:
Onde é o ângulo entre o vetor força e o vetor deslocamento.
No caso, a força em questão é de atrito, então:
Como a força de atrito tem sentido contrário ao deslocamento, . Substituindo para determinar o trabalho, temos:
Passo 2
Para determinar a velocidade do bloco após a marretada, podemos usar o teorema do Trabalho e Energia Cinética:
Passo 3
Para determinar o impulso devemos lembrar da seguinte relação:
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFRJ – 2ª Prova – 2013.1
A figura mostra um carrinho de massa , sobre um trilho de ar, que comprime de uma mola de constante elástica . O carrinho está inicialmente preso ao suporte do trilho por um fio. O fio é cortado, e a mola expande-se empurrando o carrinho. Ao passar pela posição de equilíbrio da mola, , o carrinho perde contato com a mola. No trajeto até perder contato com a mola, o impulso fornecido ao carrinho foi igual a:
;
;
;
;
;
Passo 1
Para calcular o impulso vamos usar a fórmula do impulso pelo momento linear
Ou seja, é só achar as velocidade antes e depois do impulso.
Passo 2
Começando pela velocidade inicial, como o bloco parte do repouso, então
Passo 3
Podemos achar a velocidade quando o bloco descola da mola fazendo a conservação da energia mecânica, isso acontece porque não temos forças dissipativas como o atrito atuando, isso porque ele está em um trilho de ar. Sempre que ele falar de trilhos de ar lembra que não existe atrito.
Inicialmente teremos só a energia potencial da mola e depois de descolar da mola teremos só a energia cinética do carrinho.
Então
Como o sentido é para direita
Passo 4
Então o impulso será
Dando uma arrumada, vamos entrar com o na raiz:
O módulo é então
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #4
UFRJ – 2ª Prova – 2015.1
Considere dois processos distintos de colisão unidimensionais, A e B, entre duas partículas. A figura mostra a intensidade da força sobre uma das partículas em cada processo. A área sob as duas curvas é a mesma. Assinale a alternativa correta.
A intensidade do impulso exercido pela força nos dois eventos é a mesma.
A intensidade da força média é a mesma nos dois processos.
O momento linear de cada partícula não varia durante a colisão.
Nada se pode afirmar sobre a variação de momento linear nos dois processos, pois não conhecemos a velocidade das partículas envolvidas.
Nada se pode afirmar sobre a variação de momento linear nos dois processos, pois não sabemos se a colisão é inelástica ou não.
Passo 1
Vamos ver as alternativas uma por uma!
Alternativa :
Geralmente a gente usa esta fórmula para relacionar impulso com força
mas ela só é válida quando a força é constante.
Pra uma força variável, como é o caso da nessa questão, podemos relacionar força e impulso pela seguinte fórmula:
E o valor de uma integral é a área sob a curva né? Ou seja, o módulo do impulso é igual à área sobre o gráfico força x tempo!
Ele disse que as áreas sob as duas curvas são iguais, então o impulso é igual! :)
A alternativa está correta.
Passo 2
Alternativa :
A intensidade da força média é dada pelo teorema força impulso:
Já vimos que pros 2 processos, o impulso é o mesmo, então pra força média ser a mesma, os das 2 colisões também têm que ser iguais.
Esse é o tempo em que age a força, e pelo gráfico fica claro que o processo B dura bem mais tempo que o A:
Então a alternativa é falsa.
Passo 3
Alternativa :
Vamos lá, mais uma fórmula com o impulso, dessa vez a da variação do momento linear:
Ou, em módulo:
Já vimos que o impulso é a área sob o gráfico. E essa área claramente não é nula, nas duas curvas. Ou seja:
Então há sim variação do momento linear da partícula nos 2 processos, a alternativa é falsa.
Passo 4
Alternativa e :
Acabamos de ver que podemos afirmar que a variação de momento linear da partícula nos processos não é nula. Inclusive podemos ver que ela é positiva, pois a área sob as curvas é positiva.
Então essas duas alternativas estão erradas.
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #5
USP – 2ª Prova – 2014
Um bate-estaca usa um motor de potência para levantar um martelo de massa até uma altura (relativa ao topo da estaca). Ao final do levantamento, a mesma é solta e bate sobre a haste sendo fixada no solo.
Qual o tempo de subida do martelo?
Qual a velocidade do martelo no momento de impacto?
Qual o impulso que o martelo transmite em um ciclo (entre o início da subida e o final do impacto)?
Se dobramos a potência do motor, e mantemos o mesmo tempo de subida, qual solução dará mais impulso ao martelo: dobrar a massa, ou dobrar a altura? Demonstre.
Dado .
Passo 1
A energia final do martelo no topo da coluna será:
Agora utilizando a fórmula da potência:
Passo 2
A velocidade final do martelo será dada pela energia potencial, convertida em cinética, usando a conservação de energia mecânica:
Passo 3
O impulso é dado pela variação do momento linear da estaca:
Passo 4
Temos que o impulso será dado por:
A velocidade nós encontramos pela conservação de energia mecânica:
Como estamos duplicando a potência do motor e mantendo o mesmo tempo, significa que estamos duplicando a energia potencial
Logo estamos duplicando a energia cinética também
Logo o impulso pode ser dado por:
Portanto, se dobrarmos a massa, o impulso irá ser multiplicado por . Entretanto, se dobrarmos a altura, o impulso será multiplicado por .
Logo, dobrar a massa será mais eficiente para aumentar o impulso.
Resposta
Dobrar a massa.
Exercício Resolvido #6
UFF – 2ª Prova – 2014.2
Uma bola de aço de bate em uma parede com a rapidez de a um ângulo com a superfície. Ela quica e recua com a mesma rapidez e mesmo ângulo, como apresentada na figura. Se a bola fica em contato com a parede por , qual é a intensidade da força média exercida pela parede sobre a bola?
Passo 1
Para determinar a força média que a parede exerce na bola, precisamos determinar os vetores velocidade da bola chegando e da bola saindo , pois a partir deles teremos o impulso:
Agora que temos as velocidades, podemos utilizar a definição de impulso para achar a força média!
Resposta
Exercício Resolvido #7
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 252
Uma bola de beisebol de é golpeada por um bastão. Logo antes do impacto, a bola se desloca a horizontalmente da esquerda para direita e abandona o bastão quando ela se move com velocidade de para esquerda formando um ângulo de acima da horizontal. Se o bastão e a bola permaneceram em contato durante , calcule o módulo do componente horizontal e da componente vertical da força média do bastão sobre a bola.
Passo 1
Como ele sofre ação de uma força, vimos na teoria que:
Primeiro vamos precisar achar as velocidade antes para calcular o momento linear e poder achar a força média
Passo 2
Começando pela velocidade no início do impulso.
Como a bola se desloca da esquerda para direita, então:
A velocidade inicial é:
E o momento linear inicial vai ser:
Passo 3
Agora vamos para a velocidade no fim do impulso.
Usando a “regra do COlado/SEparado”
Lembrando que ela passa a se mover para a esquerda e para cima, a velocidade final é:
E o momento linear final vai ser:
Passo 4
Vamos agora substituir tudo que temos na fórmula do “passo 1”:
O tempo foi dado no enunciado
Fazendo a conta na calculadora
Então podemos dizer que:
Como a questão pede o módulo: