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Exercícios Resolvidos de Funções Spline

Ver Teoria
Exercício 2134

Enunciado

Em cada função abaixo determine uma aproximação para f z usando a função spline linear interpolante e calcule o erro cometido.

a f x = log ⁡ x , z = 2.35 , f 1 = 0 , f 2 = 0.3010 , f 3 = 0.4771

b f x = e - x , z = 2.5 , f 2 = 0.13 , f 3 = 0.04 , f 4 = 0.01

c f x = 3 x , z = 0.4 , f 0 = 1 , f 0.25 = 1.316 , f 0.5 = 1.732

Passo 1

a Primeiro definimos:

x 0 = 1

x 1 = 2

x 2 = 3

Passo 2

Aplicando a fórmula:

x 0 , x 1 :

s 1 x = f x 0 x 1 - x x 1 - x 0 + f x 1 x - x 0 x 1 - x 0 = 0.301 x - 0.301

x 1 , x 2 :

s 2 x = f x 1 x 2 - x x 2 - x 1 + f x 2 x - x 1 x 2 - x 1 = 0.1761 x - 0.0512

Passo 3

Juntando tudo temos:

S 1 x = 0.301 x - 0.301 ,       x ∈ 1,2 0.1761 x - 0.0512 ,       x ∈ 2,3

E uma estimativa para x = 2.35 é:

S 1 2.35 = 0.1761 2.35 - 0.0512 = 0.362635

E o erro é:

E 2.35 = f 2.35 - S 1 2.35 = 0.371068 - 0.362635 = 0.008433

Passo 4

b Definimos:

x 0 = 2

x 1 = 3

x 2 = 4

Passo 5

Aplicando a fórmula:

x 0 , x 1 :

s 1 x = f x 0 x 1 - x x 1 - x 0 + f x 1 x - x 0 x 1 - x 0 = 0.31 - 0.09 x

x 1 , x 2 :

s 2 x = f x 1 x 2 - x x 2 - x 1 + f x 2 x - x 1 x 2 - x 1 = 0.13 - 0.03 x

Passo 6

Juntando tudo temos:

S 1 x = 0.31 - 0.09 x ,       x ∈ 2 , 3 0.13 - 0.03 x ,       x ∈ 3 , 4

E uma estimativa para x = 2 . 5 é:

S 1 2 . 5 = 0.31 - 0.09 2.5 = 0.085

E o erro é:

E 2 . 5 = f 2.5 - S 1 2 . 5 = 0.082085 - 0.085 = 0.002915

Passo 7

c Definimos:

x 0 = 0

x 1 = 0.25

x 2 = 0.5

Passo 8

Aplicando a fórmula:

x 0 , x 1 :

s 1 x = f x 0 x 1 - x x 1 - x 0 + f x 1 x - x 0 x 1 - x 0 = 1.264 x + 1

x 1 , x 2 :

s 2 x = f x 1 x 2 - x x 2 - x 1 + f x 2 x - x 1 x 2 - x 1 = 1.664 x + 0.9

Passo 9

Juntando tudo temos:

S 1 x = 1.264 x + 1 ,       x ∈ 0,0.25 1.664 x + 0.9 ,       x ∈ 0.25,0.5

E uma estimativa para x = 0.4 é:

S 1 0.4 = 1.664 0.4 + 0.9 = 1.5656

E o erro é:

E 0.4 = f 0.4 - S 1 0.4 = 1.551846 - 1.5656 = 0.013754

Resposta

a   S 1 x = 0.301 x - 0.301 ,       x ∈ 1,2 0.1761 x - 0.0512 ,       x ∈ 2,3

S 1 2.35 = 0.362635

E 2.35 = 0.008433

b S 1 x = 0.31 - 0.09 x ,       x ∈ 2,3 0.13 - 0.03 x ,       x ∈ 3,4

S 1 2 . 5 = 0.085

E 2 . 5 = 0.002915

c S 1 x = 1.264 x + 1 ,       x ∈ 0,0.25 1.664 x + 0.9 ,       x ∈ 0.25,0.5

S 1 0.4 = 1.5656

E 0.4 = 0.013754

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