Exercícios Resolvidos de Indução

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Enunciado

Uma espira circular de 100 c m de diâmetro, feita de fio de cobre (de resistência desprezível) tem ligado aos seus terminais uma resistência de 60 Ω , e é colocada num campo magnético uniforme de modo que o seu plano fique perpendicular ao vetor B . Qual deve ser a taxa de variação de B com o tempo para que a corrente induzida na espira seja igual a 1 A ?

Dado: Considere π = 3 .

  1. 50 T / s
  2. 100 T / s
  3. 40 T / s
  4. 60 T / s
  5. 80 T / s

Passo 1

Vamos começar através da corrente I e da resistência R , a calcular a força eletromotriz ε em Volts:

ε = R ⋅ I

Nos foi dado através do enunciado, os valores da resistência e da corrente:

R = 60   Ω

I = 1 A

Substituindo:

ε = 60 ⋅ 1 = 60 V

Encontramos o valor da força eletromotriz! Agora a partir dela, vamos calcular a variação do campo magnético B .

Passo 2

A relação entre a força eletromotriz ε e o campo magnético é dada pela fórmula:

  ε = d ( B ⋅ A ⋅ cos ⁡ θ ) d t

Depende do cosseno do ângulo feito entre o fluxo e a espira, θ , e da área da espira A .

Passo 3

Vamos começar pela área da espira, como é circular, sabemos que a área de um círculo é dada por:

A = π ⋅ r 2

Onde r é o raio da espira. Como nos falaram que a espira tem um diâmetro de 100 c m , vamos dividir pela metade esse valor para encontrar o raio:

r = d i â m e t r o 2 = 100 c m 2 = 50 c m

Mas lembra que sempre usamos a unidade em metros, passando de centímetros para metros, basta dividir por 100 :

r = 50 c m = 50 100 m = 0,5 m

Agora substituindo na fórmula da área:

A = π ⋅ 0,5 2

Não esqueça que o enunciado nos disse para considerar π = 3 :

A = 3 ⋅ 0,5 2

Elevando 0,5 ao quadrado, encontramos:

0,5 2 = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25

Então nos resta o produto:

A = 3 ⋅ 0,25 = 0,75 m 2

Passo 4

Substituindo a área que calculamos na equação da força eletromotriz:

ε = d ( B ⋅ 0,75 ⋅ cos ⁡ θ ) d t

Como a área não varia no tempo, ela é constante e pode sair de dentro da derivada:

ε = 0,75 ⋅ d ( B ⋅ cos ⁡ θ ) d t

Passo 5

Agora vamos pensar no ângulo, o enunciado nos disse que o fluxo magnético é perpendicular a espira, ou seja, o ângulo formado entre os dois θ é igual a 90 ° :

θ = 90 °

Logo o cosseno do ângulo igual a 90 ° é:

cos ⁡ θ = cos ⁡ 90 ° = 1

Substituindo a área que calculamos na equação da força eletromotriz:

ε = 0,75 ⋅ d ( B ⋅ 1 ) d t

Como o ângulo não varia no tempo, ele é constante e pode sair de dentro da derivada:

ε = 0,75 ⋅ 1 ⋅ d ( B ) d t

Passo 6

Quanto vale mesmo a força eletromotriz que calculamos no passo 1?

ε = 60

Substituindo o valor na equação:

60 = 0,75 ⋅ 1 ⋅ d ( B ) d t

Nós queremos saber a variação do campo magnético B no tempo, ou seja, queremos descobrir o valor de:

d B d t = ?

Para isso, vamos isolar esse termo de um lado da igualdade:

d ( B ) d t = d B d t = 60 0,75 ⋅ 1

Que é igual a:

d B d t = 60 0,75

Dividindo 60 por 0,75 , encontramos que a variação do campo magnético no tempo é igual a:

d B d t = 80 T s

Resposta

e) 80 T / s