Uma pequena espira com de área é colocada no interior de um solenóide longo com percorrido por uma corrente senoidal com de amplitude e uma frequência angular de . Os eixos centrais da espira e do solenoide coincidem. Qual é, aproximadamente, a amplitude da força eletromotriz induzida na espira? ()
Passo 1
Bom, como queremos a força eletromotriz induzida na espira e a corrente passa pelo solenoide, então quem produz o campo magnético é o próprio solenoide. Vamos lembrar como calculamos o campo magnético gerado por um solenoide? É seguindo essa fórmula:
Onde é a permeabilidade magnética do vácuo, é igual ao número de espiras, o comprimento do solenoide e a corrente.
Passo 2
O enunciado nos disse que a permeabilidade magnética do vácuo é igual a:
E podemos substituir o valor de igual a :
Enquanto a divisão do número de espiras pelo comprimento é:
Porém devemos lembrar que a unidade de tamanho, deve estar em metros, logo devemos transformar de centímetros para metros:
Por enquanto, o nosso campo magnético é igual a:
Passo 3
O enunciado nos disse que a corrente é senoidal com amplitude igual a de amplitude e uma frequência angular de , isso significa que a corrente tem o formato:
Ou seja, depende do tempo!
Logo nosso campo magnético gerado pelo solenoide se torna:
Passo 4
Agora que já sabemos o campo magnético gerado, vamos lembrar que a indução é demonstrada através da equação:
Onde a força eletromotriz é igual a derivada do fluxo magnético em relação ao tempo. Mas quem é esse tal de fluxo magnético? Bem, ele nada mais é do que o produto entre o campo magnético que passa pela espira e a área da espira:
Passo 5
Queremos saber o fluxo magnético que passa pela espira, então usaremos a área da espira que foi dada no enunciado:
Sabemos que as unidades devem estar sempre de acordo com o Sistema Internacional de Unidades, onde a unidade de área é o metro quadrado , logo devemos passar de milímetro quadrado para metro quadrado:
Substituindo esse valor no nosso fluxo magnético:
Passo 6
Como utilizaremos o campo magnético gerado pelo solenoide que já calculamos:
Vamos substituir no cálculo do fluxo magnético:
Vamos reduzir isso um pouquinho? Vamos multiplicar os números e vamos deixar separado o seno e as potências de :
O produto entre potências de segue a regra de que o produto entre potências de mesma base e expoentes diferentes é igual a mesma base elevado a soma dos expoentes:
Logo, nosso fluxo magnético será igual a:
Passo 7
Vamos voltar a força eletromotriz induzida? Sim, vamos voltar a equação:
E agora substituir o valor do fluxo magnético que calculamos:
Como temos apenas o seno dependente do tempo , podemos retirar esses números que acompanham multiplicando o seno:
Vamos focar na derivada do seno que é igual a multiplicação do número que acompanha o tempo pelo cosseno do mesmo tempo:
O produto se torna:
Como estamos apenas interessados na parte da amplitude da fem, vamos desconsiderar o cosseno:
Passo 8
Chegamos a resposta \o/, mas está vendo que não é uma das opções? Porque precisamos mover a vírgula!
No nosso caso, precisamos fazer o expoente da potência passar de para ser igual a , logo precisamos andar casas para a esquerda!
Resposta
e)