Exercícios Resolvidos de Indução

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Enunciado

Uma pequena espira com 6,8 m m 2 de área é colocada no interior de um solenóide longo com 854   e s p i r a s / c m percorrido por uma corrente senoidal i com 1,28 A de amplitude e uma frequência angular de 212 r a d / s . Os eixos centrais da espira e do solenoide coincidem. Qual é, aproximadamente, a amplitude da força eletromotriz induzida na espira? ( μ 0 = 4 π × 10 - 7 T m A ; π = 3,14 )

  1. 6,13 × 10 - 5 V
  2. 3,04 × 10 - 5 V
  3. 5,24 × 10 - 4 V
  4. 7,15 × 10 - 4 V
  5. 1,98 × 10 - 4 V

Passo 1

Bom, como queremos a força eletromotriz ε induzida na espira e a corrente passa pelo solenoide, então quem produz o campo magnético B é o próprio solenoide. Vamos lembrar como calculamos o campo magnético gerado por um solenoide? É seguindo essa fórmula:

B = μ 0 ⋅ N L ⋅ i

Onde μ 0 é a permeabilidade magnética do vácuo, N é igual ao número de espiras, L o comprimento do solenoide e i a corrente.

Passo 2

O enunciado nos disse que a permeabilidade magnética do vácuo é igual a:

μ 0 = 4 π ⋅ 10 - 7 T m A

E podemos substituir o valor de π igual a 3,14 :

μ 0 = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 10 - 7 T m A

Enquanto a divisão do número de espiras pelo comprimento é:

N L = 854 e s p i r a s c m

Porém devemos lembrar que a unidade de tamanho, deve estar em metros, logo devemos transformar de centímetros para metros:

N L = 854 e s p i r a s c m = 854 ⋅ 100 e s p i r a s m

Por enquanto, o nosso campo magnético é igual a:

B = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 10 - 7 ⋅ 854 ⋅ 100 ⋅ i

Passo 3

O enunciado nos disse que a corrente é senoidal com amplitude igual a 1,28 A de amplitude e uma frequência angular de 212 r a d / s , isso significa que a corrente tem o formato:

i = 1,28 ⋅ sen ⁡ ( 212 ⋅ t )

Ou seja, depende do tempo!

Logo nosso campo magnético gerado pelo solenoide se torna:

B = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 10 - 7 ⋅ 854 ⋅ 100 ⋅ 1,28 ⋅ sen ⁡ ( 212 ⋅ t )

Passo 4

Agora que já sabemos o campo magnético gerado, vamos lembrar que a indução é demonstrada através da equação:

ε = d ( Φ B ) d t

Onde a força eletromotriz é igual a derivada do fluxo magnético   Φ B em relação ao tempo. Mas quem é esse tal de fluxo magnético? Bem, ele nada mais é do que o produto entre o campo magnético que passa pela espira e a área da espira:

Φ B = B ⋅ A

Passo 5

Queremos saber o fluxo magnético que passa pela espira, então usaremos a área da espira que foi dada no enunciado:

A = 6,8 m m 2

Sabemos que as unidades devem estar sempre de acordo com o Sistema Internacional de Unidades, onde a unidade de área é o metro quadrado m 2 , logo devemos passar de milímetro quadrado para metro quadrado:

A = 6,8 m m 2 = 6,8 ⋅ 10 - 6 m 2

Substituindo esse valor no nosso fluxo magnético:

Φ B = B ⋅ 6,8 ⋅ 10 - 6

Passo 6

Como utilizaremos o campo magnético gerado pelo solenoide que já calculamos:

B = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 10 - 7 ⋅ 854 ⋅ 100 ⋅ 1,28 ⋅ sen ⁡ ( 212 ⋅ t )

Vamos substituir no cálculo do fluxo magnético:

Φ B = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 10 - 7 ⋅ 854 ⋅ 100 ⋅ 1,28 ⋅ sen ⁡ ( 212 ⋅ t ) ⋅ 6,8 ⋅ 10 - 6

Vamos reduzir isso um pouquinho? Vamos multiplicar os números e vamos deixar separado o seno e as potências de 10 :

4 ⋅ 3,14 ⋅ 854 ⋅ 100 ⋅ 1,28 ⋅ 6,8 = 9.336.119,296

O produto entre potências de 10 segue a regra de que o produto entre potências de mesma base e expoentes diferentes é igual a mesma base elevado a soma dos expoentes:

10 - 7 ⋅ 10 - 6 = 10 - 7 + - 6 = 10 - 7 - 6 = 10 - 13

Logo, nosso fluxo magnético será igual a:

Φ B = 9.336.119,296 ⋅ 10 - 13 ⋅ sen ⁡ ( 212 ⋅ t )

Passo 7

Vamos voltar a força eletromotriz induzida? Sim, vamos voltar a equação:

ε = d ( Φ B ) d t

E agora substituir o valor do fluxo magnético que calculamos:

ε = d ( 9.336.119,296 ⋅ 10 - 13 ⋅ sen ⁡ ( 212 ⋅ t ) ) d t

Como temos apenas o seno dependente do tempo t , podemos retirar esses números que acompanham multiplicando o seno:

ε = 9.336.119,296 ⋅ 10 - 13 ⋅ d ( sen ⁡ ( 212 ⋅ t ) ) d t

Vamos focar na derivada do seno que é igual a multiplicação do número que acompanha o tempo pelo cosseno do mesmo tempo:

ε = 9.336.119,296 ⋅ 10 - 13 ⋅ d sen ⁡ 212 ⋅ t d t

ε = 9.336.119,296 ⋅ 10 - 13 ⋅ 212 ⋅ cos ⁡ ( 212 ⋅ t )

O produto se torna:

ε = 1.979.257.290,752 ⋅ 10 - 13 ⋅ cos ⁡ ( 212 ⋅ t )

Como estamos apenas interessados na parte da amplitude da fem, vamos desconsiderar o cosseno:

A m p l i t u d e =   1.979.257.290,752 ⋅ 10 - 13

Passo 8

Chegamos a resposta \o/, mas está vendo que não é uma das opções? Porque precisamos mover a vírgula!

No nosso caso, precisamos fazer o expoente da potência 10 passar de 10 - 13 para ser igual a 10 - 4 , logo precisamos andar 9 casas para a esquerda!

A m p l i t u d e =   1.979.257.290,752 ⋅ 10 - 13 ≈ 1,98 ⋅ 10 - 4 V

Resposta

e) 1,98 × 10 - 4 V