Exercícios Resolvidos de Introdução aos Números Complexos

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Enunciado

Escreva os seguintes números complexos na forma trigonométrica:

a   z = 2 i

b   z = - 5

c   z = 6 + 2 3 i

Passo 1

Bom, primeiro de tudo é saber escrever um complexo na forma trigonométrica. Dado um complexo:

z = a + b i

Sua forma trigonométrica é:

z = z cos ⁡ θ + i s e n θ

Onde θ = a r g ⁡ ( z ) e tg ⁡ ( θ ) = b / a . Bora começar!

Passo 2

a   z = 2 i

Calculando seu módulo:

z = 0 2 + 2 2 = 4 = 2

E agora vamos acha seu argumento:

θ = arg ⁡ z

tg ⁡ ( θ ) = 2 0

Como isso não existe, precisamos calcular o limite:

lim x → 0 + ⁡ 2 x = ∞   e   lim x → 0 - ⁡ 2 x = - ∞

Então, precisamos pensar quais ângulos de 0 a 2 π que possuem tangente tendendo pro infinito. Esses são:

90 ° = π 2   e   270 ° = 3 π 2

Porém, olhe a representação do nosso complexo no plano:

Então θ = π 2 .

Agora que já temos nossos módulo e argumento, bora representação trigonometricamente o complexo:

z = 2 i

z = 2 cos ⁡ π 2 + i s e n π 2

Passo 3

b   z = - 5

Calculando seu módulo:

z = - 5 2 + 0 2 = 25 = 5

E agora vamos acha seu argumento:

θ = arg ⁡ z

tg ⁡ ( θ ) = - 0 5 = 0

Então, precisamos pensar quais ângulos de 0 a 2 π que possuem tangente igual a 0 . Esses são:

0 ° = 0   e   180 ° = π

Porém, olhe a representação do nosso complexo no plano:

Portanto, θ = π .

Agora que já temos nossos módulo e argumento, bora representação trigonometricamente o complexo:

z = - 5

z = 5 cos ⁡ π + i s e n π

Passo 4

c   z = 6 + 2 3 i

Calculando seu módulo:

z = 6 2 + 2 3 2 = 36 + 12 = 48 = 4 3

E agora vamos acha seu argumento:

θ = arg ⁡ z

tg ⁡ ( θ ) = 2 3 6 = 3 3

Então, precisamos pensar quais ângulos de 0 a 2 π que possuem tangente igual a 3 3 . Esses são:

30 ° = π 6   e   210 ° = 7 π 6

Porém, olhe a representação do nosso complexo no plano:

Portanto, θ = π 6 .

Agora que já temos nossos módulo e argumento, bora representação trigonometricamente o complexo:

z = 6 + 2 3 i

z = 4 3 cos ⁡ π 6 + i s e n π 6

Resposta

a   z = 2 cos ⁡ π 2 + i s e n π 2

b   z = 5 cos ⁡ π + i s e n π

c   z = 4 3 cos ⁡ π 6 + i s e n π 6