Exercícios Resolvidos de Lugar geométrico das raízes

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Enunciado

Esboce o lugar geométrico das raízes e suas assíntotas para o sistema mostrado abaixo:

G s = K C ( 3 s + 1 ) ( s + 1 ) ( 0,5 s + 1 )

Passo 1

Primeiramente vamos identificar nosso polos e zeros. Nesse caso, temos três polos, - 1 3 , - 1 e - 2 , e nenhum zero.

Representando esses polos no diagrama de lugar das raízes:

Passo 2

Nesse caso, temos três polos a mais que zeros, isso indica que teremos três zeros no infinito, e portanto, precisamos das nossas assíntotas para saber a localização desses polos.

θ a = ± 180 2 r + 1 n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s =   ± 180 2 r + 1 3 - 0 = 60 ( 2 r + 1 )

Podemos perceber que se   r for igual a 0 o ângulo será 60 º , se for 1 , será 180 º , e será 300 º se r for 3 . Após isso, os valores começam a se repetir.

Agora vamos calcular onde a assíntota intercepta o eixo real:

σ a = ∑ p o l o   f i n i t o s - ∑ z e r o s   f i n i t o s n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s = - 1 - 1 3 - 2 - 0 3 - 0 =   - 10 9

Colocando no diagrama de lugar das raízes:

Temos uma assíntota com inclinação 60 º , uma assíntota com inclinação 300 º e uma terceira assíntota com inclinação 180 º que se encontra sobre o eixo dos reais.

Passo 3

Agora só nos resta representar os ramos, lembrando sempre das nossas regrinhas: os ramos nascem nos polos e morrem nos zeros, o número de ramos é igual ao número de polos, e os ramos só existem se à esquerda deles existir um número ímpar de polos e zeros.

Se observarmos todas essas regras, nosso diagram ficará dessa forma:

Cada ramo nasce em um polo e morre em um zero no infinito, já que não temos nenhum zero finito nesse caso. Os zeros no infinito são determinados pelas assíntotas e portanto os ramos tendem à eles.

Entre - 1 e - 2 não existem ramos porque nesse intervalo existem dois polos à esquerda.

Resposta