Exercícios Resolvidos de Lugar geométrico das raízes

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Enunciado

Esboce o lugar geométrico das raízes e suas assíntotas para o sistema mostrado abaixo:

G s = K ( s + 2 ) ( s + 4 ) ( s + 6 )

Passo 1

O primeiro passo para montar o nosso esboço do lugar das raízes sempre será identidicar os polos e zeros da nossa função de transferência e representa-los no diagrama.

A função de transferência do exercício não apresenta zeros porém possui três polos, - 2 , - 4 e - 6 .

Passo 2

Agora, vamos aplicar as nossas fórmulas para encontrar o ângulo das assíntotas com o eixo dos reais e em que ponta elas vão interceptar esse eixo:

θ a = ± 180 2 r + 1 n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s =   ± 180 2 r + 1 3 - 0 = 60 ( 2 r + 1 )

Podemos perceber que se   r for igual a 0 o ângulo será 60 º , se for 1 , será 180 º , e se for 2 será 300 º . Repare que se continuarmos aumentando o valor de r esses valores vão se repetir.

Agora vamos calcular onde a assíntota intercepta o eixo real:

σ a = ∑ p o l o   f i n i t o s - ∑ z e r o s   f i n i t o s n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s = - 2 - 4 - 6 - 0 3 - 0 =   - 4

Coocando no diagrama de lugar das raízes:

Estão representadas as assíntotas com inclinação 60 º e 300 º . A assíntota com inclinação 180 º está localizada sobre o eixo dos reais.

Passo 3

Agora devemos começar a representar os ramos. Os ramos sempre começam nos polos e terminam nos zeros. Como nesse caso não temos zeros finitos, nós precisaremos que os polos terminem nos zeros no infinitos, ou seja, precisaremos de três zeros no infinito.

Entre 0 e - 2 e entre - 4 e - 6 não podem existir ramos sobre o eixo real pois nesses lugares estão à esquerda de um número par de zeros e polos. Dessa forma ficamos com um ramo saindo do polo - 6 e vai para o infinito negativo real, e outros dois ramos saindo de - 2 e - 4 que se encontram deixam o eixo dos reais tendendo aos zeros no infinito indicados pelas assíntotas.

Resposta