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Impulso e Quantidade de Movimento Angular

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Teoria

Introdução

Imagine um satélite girando em torno da terra:

Qual a diferença entre o movimento que o satélite faz e o movimento que vimos no tópico anterior? O satélite faz um movimento circular, enquanto que no tópico anterior tratávamos de movimento linear.

Mas como faremos para calcular a quantidade de movimento quando o movimento é curvo?

É isso que vamos ver aqui...

Quantidade de movimento Angular

A quantidade de movimento angular é o nome que daremos para a quantidade de movimento quando a trajetória é circular. Essa grandeza nada mais é que o momento do vetor quantidade de movimento linear m v →   em torno de um ponto O :

H → o = r → × m v →

Onde:

  • r → : Distância do corpo que está girando até o eixo considerado como referencial;
  • v → : Velocidade do corpo;
  • m : Massa do corpo.

A unidade da quantidade de movimento angular é N . m . s ou k g . m 2 / s .

Bom, para calcular isso, apenas usamos as técnicas que aprendemos lá no início do curso, no capítulo de vetores. Para isso, temos que montar a seguinte matriz:

H → o = m i j k r x r y r z v x v y v z

E se quisermos calcular o módulo da quantidade de movimento angular? Temos que lembrar lá de álgebra linear:

H o = m v r   s e n   θ

Outra fórmula que é importante lembrarmos é:

v = ω R

Porque, dessa forma, a quantidade de movimento angular fica:

H o = R ω R m   → H o = m ω R 2

Isso de um ponto de vista não vetorial!!!

Relação entre momentos e quantidade de movimento angular

Existe uma relação entre momentos e quantidade de movimento angular que diz que o somatório dos momentos que cada força que atua no corpo faz com relação a um ponto é igual a variação da quantidade de movimento angular:

∑ M → = ∆ H → o

Princípio do Impulso-Quantidade de Movimento Angular

Da mesma forma que havia uma relação entre os impulsos das forças e a variação da quantidade de movimento linear, existe uma relação parecida para o caso de movimento circular:

∫ M → d t = ∆ H → o

Chamamos o produto do momento pelo tempo de impulso angular. E quando o momento for constante no tempo:

M → ∆ t = ∆ H → o

Sacou? O impulso do momento é igual à variação da quantidade de movimento angular!

Conservação da quantidade de movimento angular

Quando o somatório dos momentos de cada força que atua no corpo for nulo, podemos chegar à seguinte conclusão:

∑ M → = ∆ H → o ∴ 0 → =   ∆ H → o

H → o i = H → o f

Em alguns tipos de questões, um certo sistema vai estar girando com uma certa configuração de massa. Nesse tipo de questão, pode ser que essa configuração mude (como a perda de uma parcela da massa, por exemplo). Daí você vai usar esta relação aí.

Vamos praticar para fixar o que aprendemos!!!

Quantidade de movimento Angular

Relação entre momentos e quantidade de movimento angular

Princípio do Impulso-Quantidade de Movimento Angular

Conservação da quantidade de movimento angular

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 136, 3/174

As pequenas esferas, que possuem as massas e velocidades iniciais indicadas na figura, atingem e tornam-se presas às extremidades pontudas da haste, que é livremente articulada em O e está inicialmente em repouso. Determine a velocidade angular ω do conjunto após o impacto. Despreze a massa da haste.

Passo 1

Os momentos iniciais são:

M 1 = L 2 m . v = 2 m L v

E:

M 2 = L m . 3 v = 3 m L v

Passo 2

Após a colisão, o conjunto se comportará como um corpo só:

M f = 3 m L ω L = 3 m L 2 ω

Assim, por conservação de momento angular( já que não há torques externos):

2 m L v + 3 m L v = 3 m L 2 ω → ω = 5 v 3 L

Resposta

ω = 5 v 3 L

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 136, 3/174

O conjunto parte do repouso e atinge uma velocidade angular de 150   r p m , sob a ação de uma força T de 20   N aplicada à corda por t segundos. Determine t . Despreze o atrito e todas as massas exceto a das quatro esferas de 3   k g , que podem ser tratadas como partículas.

Passo 1

Vamos usar:

m v 1 d 1 + ∫ t 1 t 2 M d t = m v 2 d 2

Assim:

0 + ∫ t 1 t 2 20 ∙ 0,1   d t = 4 . 3 . 0 , 4 2 ( 150 . 1 60 . 2 π )

Perceba que:

f = 150 r p m = 150 60 H z

Logo:

ω = 2 π f = 150 60 2 π

Voltando:

0 + 2 t = 4 . 3 . 0 , 4 2 ( 150 . 1 60 . 2 π )

Resolvendo:

t = 15 , 08 s

Resposta

t = 15 , 08 s

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 136, 3/174

Em um dado instante, a partícula de massa m tem a posição e velocidade mostradas na figura, e sofre a ação da força F . Determine sua quantidade de movimento angular em torno do ponto O e a taxa de variação no tempo dessa quantidade de movimento angular.

Passo 1

Vamos usar os nossos conhecimentos vetoriais lá de trás agora:

H 0 → = r → x m v →

Onde:

r → = a i ^ + b j ^ + c k ^

E:

v → = v k ^

Assim:

H 0 →   = a i ^ + b j ^ + c k ^ x m v k ^ = m v ( b i ^ - a j ^ )

Passo 2

Sabemos que:

d H 0 → d t = M 0 →

E:

M 0 → = r → x F 0 → = a i ^ + b j ^ + c k ^ x F j ^ = F ( - c i ^ + a k ^ )

Resposta

H 0 →   = m v ( b i ^ - a j ^ )

M 0 → = F ( - c i ^ + a k ^ )

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 136, 3/174

As duas esferas de massas iguais m podem deslizar ao longo da haste horizontal que gira. Se elas estão iniciamente travadas na posição a uma distância r do eixo de rotação com o conjunto girando livremente com uma velocidade angular ω 0 , determine a nova velocidade angular ω após as esferas serem liberadas e finalmente assumirem posições nas extremidades da haste na distância radial de 2 r . Encontre também a fração n da energia cinética inicial do sistema que é perdida. Despreze a pequena massa da haste e do eixo.

Passo 1

Temos que:

H 0 = H f

Sendo que:

H 0 = 2 m r ω 0 r

E o final:

H f = 2 m 2 r ω 2 r

Tá vendo? O raio aumentou. Comparando:

2 m r ω 0 r = 2 m 2 r ω 2 r → ω = ω 0 4

Passo 2

Sabemos que a energia cinética é dada por:

T = 1 2 m ω r 2

Assim, temos que:

∆ T = 2 1 2 m r ω 0 2 - 2 r ω 0 4 2 = 3 4 m r 2 ω 0 2

Lembrando que são duas massas, assim:

T 0 = 2 1 2 m ω 0 r 2 = m ω 0 r 2

Assim, o percentual da perda será:

n = ∆ T T 0 = 3 4 m r 2 ω 0 2 m ω 0 r 2 = 3 4

Resposta

ω = ω 0 4

n = 3 4

Exercício Resolvido #5

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 136, 3/174

A única força atuando sobre um satélite da Terra que se desloca fora da atmosfera terreste é a atração gravitacional radial. O momento desta força é nulo em torno do centro da Terra tomado como um ponto fixo. Prove que r ² θ ˙ permanece constante durante o movimento do satélite.

Passo 1

Podemos dizer que:

∑ M 0 = d H 0 d t

Onde:

H 0 = m r θ ˙ r

Lembrando que: θ ˙ = ω .

Passo 2

Bom, beleza, mas quais são os momentos atuantes na partícula? Bom, como a força gravitacional é radial( aponta diretamente pro centro da terra), ela é perpendicular à velocidade do corpo.

Sendo assim, os torques são nulos:

∑ M 0 = 0

Assim:

0 = d H 0 d t

Assim:

d d t m r θ ˙ r = 0

∴  

d d t r θ ˙ r = 0

O que isso significa? Se algo tem derivada nula, essa coisa é uma constante:

r θ ˙ r = c t e

∴

θ ˙ r 2 = c t e

Resposta

θ ˙ r 2 = c t e

Exercício Resolvido #6

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 136, 3/174

A partícula de massa m é suavemente empurrada a partir da posição de equilíbrio A e posteriormente desliza ao longo da trajetória circular lisa que se situa num plano vertical. Determine o módulo da sua quantidade de movimento angular em torno do ponto O quando ela passa (a) o ponto B e (b) o ponto C . Em cada caso, determine a taxa de variação no tempo de H 0 .

.

Passo 1

a)

Para achar a velocidade no ponto B , basta a gente aplicar a equação de Torriceli:

v 2 = v 0 2 + 2 g ∆ S

Onde:

∆ S = r   e   v 0 = 0 :

v 2 = 0 2 + 2 g r → v B = 2 g r

Assim, o momento angular é dado por:

H B = m r v B = m r 2 g r

Vamos achar a taxa de variação do momento angular derivando isso em relação ao tempo, considerando que r é uma função do tempo:

H B ˙ = d m r 2 g r d t = m r 1 2 2 g r ( 2 g ) 2 g r = m g r

Passo 2

b)

Para achar a velocidade em C , devemos fazer a mesma coisa:

v c = 2 g ∆ S = 2 g 2 r = 2 g r

Assim:

H c = m r v c = 2 m r g r

E derivando:

H c ˙ = d 2 m r g r d t = 0

Ué? Por quê zero?

Simples: A força que está gerando a variação de momento angular é a força peso.

Sendo assim, quando a partícula passa pelo ponto C , a força da gravidade, sendo vertical, não afeta o seu deslocamento, que é horizontal.

Resposta

H B = m r v B = m r 2 g r

H B ˙ = m g r

H c = m r v c = 2 m r g r

H c ˙ = 0

Exercício Resolvido #7

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 154, 3/231

Uma partícula de massa m se desloca com atrito desprezível sobre uma superfície horizontal e está conectada a uma mola leve presa em O . Na posição A a partícula tem a velocidade v a   = 4 m/s. Determine a velocidade v b da partícula quando ela passa a posição B .

Passo 1

Como o momento resultante externo é nulo, podemos dizer que;

H ˙ = 0 → H o A = H O B

∴

m 4 0,350 s e n 54 ° = m v B 0,230 s e n 65 °

∴

v B = 5.43 m / s

Resposta

v B = 5.43 m / s

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