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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 01

O corpo rígido (placa) tem uma massa m e gira com uma velocidade angular ω em relação a um eixo passando pelo ponto fixo O. Demonstre que os momentos de todas as partículas compondo o corpo podem ser representados por um único vetor tendo uma intensado m v G e atuando no ponto P, chamado de centro de percussão, o qual se encontra a uma distância r P / G = k G 2 / r G / O do centro de massa G. Aqui, k G é o raio de giração do corpo, calculado em relação a um eixo perpendicular ao plano do movimento e passando por G.

Passo 1

Antes de começar o exercício, devemos lembrar que o momento de inércia I G é dado em função do raio de giração através da seguinte fórmula:

I G = m k G 2  

Para nos auxiliar na resolução do exercício, usaremos o seguinte esquema para representar o problema:

Passo 2

Dessa forma, conseguimos escrever o momento angular em relação ao ponto O da seguinte forma:

H O = r G / O + r P / G m v G = r G / O m v G + r P / G ( m v G )  

No entanto, sabemos que o último termo pode ser dado por:

r P / G m v G = I G ω

Dessa forma:

r G / O m v G + r P / G m v G = r G / O m v G + I G ω

Agora, substituindo a relação do passo 1:

r G / O m v G + r P / G m v G = r G / O m v G + ( m k G 2 ) ω

r P / G = k G 2 v G / ω

Passo 3

Por fim, sabemos ainda que a velocidade linear do centro de massa se relaciona com a angular pela seguinte fórmula:

v G = ω r G / O → r G / O = v G ω

Logo, substituindo isso na última equação do passo 2:

r P / G = k G 2 v G / ω → r P / G = k G 2 r G / O

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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