Cunhas e Parafusos

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Teoria

Introdução

Você sabe o que é uma cunha?

Uma cunha é uma espécie de apoio. Usamos isso para apoiar máquinas, ferramentas, mesas e corpos no geral.

Nesse capítulo, vamos aprender um pouco da Física que faz com que essas ferramentas sejam tão úteis!

Além disso, vamos falar um pouco sobre parafusos:

Precisamos estudar parafusos? Sim, parafusos são mecanismos bastante sofisticados.

Partiu?

O ângulo de atrito

Imagine uma caixa em cima de uma superfície que possui atrito. Ela sofrerá a ação de uma força de atrito, certo?

Mas ela também sofre a ação de uma força normal, certo?

Podemos, então, representar o efeito das duas forças por meio de uma resultante R → :

Perceba que essa resultante faz um ângulo ϕ com a direção da força normal. Mas qual é o valor deste ângulo? É só considerarmos esse triângulo retângulo aqui:

t g ϕ = F a t N

A força de atrito pode ser calculada assim:

F a t = μ N

Onde μ pode ser o coeficiente de atrito estático ou dinâmico, dependendo da situação!

Então, podemos dizer que:

t g ϕ = F a t N       →       t g ϕ = μ N N

  t g ϕ = μ

Então, o nosso ângulo de atrito será igual a:

ϕ = a r c t g μ

Vamos usar essa relação muitas vezes nesse e nos próximos tópicos de atrito!

Observação: O ângulo é definido sempre entre a direção normal à superfície que possui atrito e a força resultante naquela superfície.

Cunhas

Imaginemos uma cunha que sustenta um corpo, como no desenho abaixo:

O atrito da superfície do corpo com a cunha e da cunha com o chão é o mesmo e tem coeficiente μ , beleza?

Assim, existem duas reações que afetam a cunha: R → 1 , que é a resultante (também chamada de reação) do chão com a cunha, e R → 2 , que é a reação do corpo com a cunha:

Mas você deve ter percebido que esse sistema não está equilibrado, certo? Certo! Vamos precisar aplicar uma força P pra equilibrar:

Como dimensionamos P ? Essa é uma pergunta frequente dos problemas!

Bom, vamos precisar usar as equações de equilíbrio de forças:

∑ F x = 0  

  ∑ F y = 0

E para fazer o equilíbrio, precisamos achar as componentes vertical e horizontal das reações. Então, precisamos descobrir os ângulos das forças.

R 1 faz um ângulo ϕ com a normal e R 2 também. Porém, como a superfície de R 2 é inclinada, devemos contabilizar essa inclinação na conta:

E como nós fizemos aparecer aquele θ á em cima? Vamos dar uma olhadinha na geometria da coisa.

Primeiro, observe que o ângulo abaixo, 90 ° - θ , surgiu porque a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser 180 ° :

Beleza, agora vamos traçar uma perpendicular à superfície do plano inclinado da cunha:

A linha vermelha representa a reta normal. Tá vendo aquele ângulo α ali? Podemos calculá-lo assim:

90 ° - θ + α + 90 ° = 180 °       →         α = θ

Beleza?

Agora vamos apagar esses ângulos:

Lembra que ângulos opostos por um vértice são iguais? Assim:

Pronto, agora entendemos o aparecimento do θ !

E o ϕ ? O ângulo de atrito ϕ é sempre tomado em relação à normal da superfície. Assim:

Pronto! Com isso vamos conseguir calcular P ! Vamos ver isso melhor nos exercícios, não se preocupe.

Cunha auto-travante:

Vimos que existe uma força P que equilibra o sistema. Mas será que existe alguma condição que faz com que a cunha não deslize, mesmo sem a ação de uma força P ?

Sim, essa condição é:

α < 2 ϕ

Além disso, temos um limiar do deslizamento, dado por:

α = 2 ϕ

Parafusos

As questões de parafusos não exigem, geralmente, uma grande visualização geométrica. Em outras palavras, você vai precisar apenas saber usar as fórmulas e compreender quando usá-las.

Sendo assim, não vamos perder muito tempo com demonstrações de fórmulas. Vamos logo para a aplicação:

As variáveis que precisamos conhecer são:

  • W : Carga axial que atinge o parafuso. Ex: o peso de um corpo.
  • r : Raio do Parafuso
  • L : Passo do parafuso. O passo nada mais é do que a distância que o parafuso percorre em uma volta.
  • ϕ : Ângulo de atrito. Como vimos antes:
  • ϕ = a r c t g μ

  • α : Ângulo de Hélice. É dado por:
  • α = a r c t g L 2 π r

  • M : O momento para parafusar ou desparafusar o parafuso. Geralmente é o que queremos calcular.

Para ficar mais claro: Quando a gente enrosca um parafuso, ele se desloca L unidades de comprimento. Esse comprimento pode ser visualizado como a distância entre duas “voltas” da hélice do parafuso:

Para entender melhor o conceito de ângulo de hélice, você precisaria “desenrolar” um parafuso:

E construir o triângulo abaixo:

Perceba que o comprimento da base do triângulo vale 2 π r , porque “desenrolamos” o parafuso.

Assim, podemos definir o ângulo como:

t g α = L 2 π r     →     α = a r c t g L 2 π r

Geralmente o enunciado vai te dar as dimensões L e r e com elas você vai conseguir calcular esse ângulo.

Parafusando o Parafuso

Quando a questão nos pedir o momento necessário para parafusar um parafuso, ou seja, para pressioná-lo, devemos usar a seguinte fórmula:

M = W r t g α + ϕ

Simples assim!

Desparafusando o Parafuso

Temos três casos:

  • O parafuso foi corretamente parafusado e é auto-travante (não se desparafusa sozinho);
  • O parafuso está no limiar do desparafusamento;
  • O parafuso se desparafusa sozinho.

  1. O parafuso é auto-travante.
  2. Esse caso ocorre sempre que α < ϕ . Nessa situação, um momento M , gerado pela estrutura no parafuso, impede o seu desparafusamento. Mas e se você quiser desparafusá-lo? Bom, aí você precisa aplicar um momento dado pela fórmula abaixo:

    M = W r t g ϕ - α

  3. O parafuso está no limiar do desparafusamento.
  4. Nesse caso o parafuso não está ainda solto, mas sim no limiar do desparafusamento. Geralmente essa condição é usada para se calcular o coeficiente de atrito mínimo para que o parafuso não se solte.

    A condição do limiar é dada sempre que os ângulos forem iguais:

    α = ϕ

  5. O parafuso se desparafusa sozinho.

Essa condição sempre ocorre quando α > ϕ

Nesse caso, o parafuso não foi corretamente pressionado e se desparafusa sozinho. Mas e se você quiser impedir que isso aconteça?

Bom, aí você precisa aplicar um momento dado por:

M = W r t g ( α - ϕ )

Beleza! Chegamos ao fim...

Vamos treinar um pouco agora! Partiu?

Cunhas

Parafusos

Parafusando o Parafuso

Desparafusando o Parafuso

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Os elementos de um tubo de desodorante em barra são mostrados na figura. Para subir a barra de desodorante D , o disco C é girado. O eixo rosqueado se conecta as roscas de base móvel A ; o eixo não tem roscas no suporte fixo B . A rosca quadrada dupla de 6   m m de diâmetro tem um passo de 5   m m . Determine o coeficiente de atrito estático μ , para o qual o desodorante não descerá sob a ação da força P . Despreze o atrito em B .

Passo 1

Queremos saber o coeficiente de atrito μ mínimo para que o parafuso não se solte. Nesse caso, o parafuso não está ainda solto, mas sim no limiar do desparafusamento.

Então, basta a gente lembrar que na condição limite do desparafusamento:

α = ϕ

Onde:

t g ϕ = μ       →       ϕ = a r c t g μ

E α é:

α = a r c t g L 2 π r

Passo 2

Sabemos que:

α = ϕ

a r c t g L 2 π r = a r c t g μ

A rosca tem um diâmetro de 6   m m , então o seu raio é de 3   m m . E o passo L foi dito no enunciado que é de 5   m m . Sendo assim:

μ = L 2 π r = 5 2 π 3 = 0,265

Resposta

μ = 0,265

Exercício Resolvido #2

O grampo está sendo usado para prender dois painéis enquanto a cola entre eles cura. Que torque M deve ser aplicado à manopla do parafuso para produzir uma compressão de 400   N entre os painéis? O parafuso de rosca simples tem rosca quadrada com 10   m m de diâmetro e passo (avanço por revolução) de 1,5   m m .   O coeficiente de atrito efetivo vale 0,2 . Despreze qualquer atrito no pivô de contato em C . Que torque M ' é necessário para afrouxar o grampo?

Passo 1

Nessa questão vamos aplicar as duas formulinhas que vimos. A primeira é fórmula do momento necessário para parafusar um parafuso que é:

M = W r t g α + ϕ

E a segunda é a fórmula do momento necessário para desparafusar um parafuso:

M ' = W r t g ϕ - α

Antes temos que calcular os ângulos que usaremos. Sabendo que o diâmetro é 10   m m , então o raio será de 5   m m e o passo L é 1,5   m m :

α = a r c t g L 2 π r     →       α = a r c t g L 2 π ( 5 )

α = a r c t g 1,5 π 10       →         α = 2,73 °

Sendo esse o ângulo de hélice.

E o ângulo de atrito é:

ϕ = a r c t g μ     →     ϕ = a r c t g 0,2

ϕ = 11,31 °

Passo 2

Lembrando que temos que passar tudo para metros para calcular o momento:

r = D 2 = 0,01 2 = 0,005   m

O momento para aparafusar será dado por:

M = W r t g α + ϕ

Onde W é a carga que o parafuso vai transmitir que é de 400   N , então:

M = W r t g α + ϕ       →         M = 400 0,005   t g 11,31 ° + 2,73 °

M = 0 , 5   N ⋅ m

Passo 3

E para desparafusar ou afrouxar? Basta usar a fórmula:

M ' = W r t g ϕ - α

M ' = 400 5.10 - 3 t g 11,31 ° - 2,73 °

M ' = 0,302   N ⋅ m

Resposta

M = 0,5   N ⋅ m

M ' = 0,302   N ⋅ m

Exercício Resolvido #3

Especifique o torque M necessário no parafuso motorizado para vencer a resistência de 450   N ao movimento do carro ao longo do seu trilho horizontal. O parafuso tem diâmetro médio de 25   m m e tem duas roscas quadradas separadas que movem o carro 20   m m por revolução do parafuso. O coeficiente de atrito vale 0,20 .

Passo 1

Para calcular o momento necessário para o parafuso vencer a resistência, temos que usar a seguinte fórmula:

M = W r t g α + ϕ

Então, vamos começar calculando o ângulo de hélice ( α ):

α = a r c t g L 2 π r

O passo do parafuso ( L ) nada mais é do que a distância que o parafuso percorre em uma volta, então vale 20   m m . E o raio vai ser a metade do diâmetro que foi dado no enunciado:

r = 25 2 = 12,5   m m = 0,0125   m

Então, o ângulo de hélice ( α ) será:

α = a r c t g L 2 π r     →         α = a r c t g 0,02 2 π 0,0125

α = 14,29 °

Passo 2

Sabendo que o coeficiente de atrito ( μ ) vale 0,20 , vamos ter que o ângulo de atrito ( ϕ ) será:

ϕ = a r c t g μ       →         ϕ = a r c t g 0,20

ϕ = 11,31 °

Passo 3

Sabendo que o parafuso precisa vencer uma carga de 450   N , então o momento necessário será:

M = W r t g α + ϕ       →           M = ( 4 50 ) ( 0,0125   ) t g 14,29 ° + 11,31 °

M = 2,69   N ⋅ m

Resposta

M = 2,69   N ⋅ m

Exercício Resolvido #4

O tensionador sustenta uma força trativa de 40   k N no cabo. Os parafusos têm um diâmetro médio de 30   m m e roscas quadradas com passo de 3,5   m m . O coeficiente de atrito para as roscas lubrificadas não ultrapassa 0,25 . Determine o momento M aplicado ao corpo do tensionador ( a ) para apertá-lo e ( b ) para afrouxá-lo. Ambos os parafusos têm roscas simples e são impedidos de girar.

Passo 1

Para calcular o momento necessário para apertar o parafuso, temos que usar a seguinte fórmula:

M = W r t g α + ϕ

Então, vamos começar calculando o ângulo de hélice ( α ):

α = a r c t g L 2 π r

O passo do parafuso ( L ) vale 3,5   m m e o raio vai ser a metade do diâmetro que foi dado no enunciado:

r = 30 2 = 15   m m = 0,015   m

Então, o ângulo de hélice ( α ) será:

α = a r c t g L 2 π r     →         α = a r c t g 0,0035 2 π 0,015

α = 2,13 °

Passo 2

Sabendo que o coeficiente de atrito ( μ ) vale 0,25 , vamos ter que o ângulo de atrito ( ϕ ) será:

ϕ = a r c t g μ       →         ϕ = a r c t g 0,25

ϕ = 14,04 °

Passo 3

Sabendo que existem dois parafusos e a carga axial ( W ) que atinge o parafuso é de 40   k N , podemos calcular o momento necessário para apertar o tensionador:

M = 2 W r t g α + ϕ       →           M = 2 ( 40 000 ) ( 0,0 15 ) t g 2,13 ° + 14,04 °

M = 348   N m

Passo 4

Vamos calcular o momento para afrouxar o tensionador:

M = 2 W r t g ϕ - α       →         M = 2 ( 40000 ) ( 0,015 ) t g 14,04 ° - 2,13 °

M = 253,1   N m

Resposta

a )   M = 348   N m

b )   M = 253,1   N m

Exercício Resolvido #5

O anel A está firmemente ajustado ao eixo B e deve ser removido do eixo pelo dispositivo de remoção mostrado. O parafuso tem uma rosca quadrada simples com um diâmetro médio de 20   m m e um passo L de 6   m m . Se um torque de 24   N ⋅ m é necessário para girar a roda C de forma a retirar o anel do eixo, determine a pressão média p (tensão compressiva) entre o anel e o eixo. O coeficiente de atrito para o parafuso em E vale 0,25 e o do eixo e do anel vale 0,30 . O atrito na extremidade esférica D do eixo pode ser desprezado.

Passo 1

Para calcular o momento necessário para apertar o parafuso, temos que usar a seguinte fórmula:

M = W r t g α + ϕ

Então, vamos começar calculando o ângulo de hélice ( α ):

α = a r c t g L 2 π r

O passo do parafuso ( L ) vale 6   m m e o raio vai ser a metade do diâmetro que foi dado no enunciado:

r = 20 2 = 10   m m = 0,01   m

Então, o ângulo de hélice ( α ) será:

α = a r c t g L 2 π r     →         α = a r c t g 0,006 2 π 0,01

α = 5,45 °

Passo 2

Sabendo que o coeficiente de atrito ( μ ) vale 0,25 , vamos ter que o ângulo de atrito ( ϕ ) será:

ϕ = a r c t g μ       →         ϕ = a r c t g 0,25

ϕ = 14,04 °

Passo 3

Neste caso nós sabemos que o momento vale 24   N ⋅ m e queremos saber a força axial W , então vamos ter que:

M = W r t g α + ϕ       →         24 = W ( 0,01 ) t g 5,45 ° + 14,04 °

W = 6780   N

Passo 4

Agora precisamos saber a pressão p . Para isso, temos que saber que a pressão é calculada por:

μ p = W A

Onde, o coeficiente de atrito do eixo e do anel é 0,3 e A é a área de contato entre o anel e o eixo:

A = 0,05 π 0,06 = 0,0094   m 2

Então, a pressão será:

μ p = W A         →     0,3 p = 6780 0,0094

p = 2397934,5   P a

p = 2400   k P a

Resposta

p = 2400   k P a

Exercício Resolvido #6

Se o coeficiente de atrito entre a cunha de aço e as fibras úmidas de um tronco recentemente cortado vale 0,20 , determine o ângulo máximo α que a cunha pode ter para não pular fora da madeira após ter sido atingida pela marreta.

Passo 1

O sistema pode ser descrito assim:

Para que a cunha seja auto-travante, devemos ter:

α < 2 ϕ           →           α 2 < ϕ

No caso limite, teremos:

α 2 = ϕ = a r c t g μ

Assim:

α = 2 a r c t g μ = 2 a r c t g 0,20

α = 22,6 °

Resposta

α = 22,6 °

Exercício Resolvido #7

A porta industrial de 100   k g e centro de massa em G está sendo posicionada para reparo por meio da inserção de uma cunha de 5 ° sob o canto B . O movimento horizontal é impedido pelo pequeno degrau no canto A .   Se os coeficientes de atrito estático nas superfícies superior e inferior da cunha valem 0,60 , determine a força P necessária para levantar a porta em B .

Passo 1

Vamos primeiro desenhar o sistema de forças na cunha:

Vamos seguir uma estratégia: primeiro encontrar R 1 , depois vamos passar um eixo especial e decompor a força P e R 1   nessa direção, achando, assim, o valor de P .

Passo 2

Vamos expandir um pouco o desenho de modo que possamos ver um pedaço da porta:

Perceba que o ângulo que a força R → 1 faz com a aresta da porta é:

5 ° + ϕ

Mas quanto vale ϕ ? Este é o ângulo de atrito, sendo assim:

ϕ = a r c t g μ       →           ϕ = a r c t g 0,6

ϕ = 31,0 °

Agora vamos desenhar a nossa porta e as forças que atua nela:

Como a porta exerce uma força R 1 na cunha, a cunha exerce a mesma força na caixa, certo?

Então, vamos usar o equilíbrio de momentos com relação ao ponto A para calcularmos o valor de R 1 . Fazer o momento com relação a este ponto nos ajuda porque assim eliminamos as forças em A

∑ M A = 0

Vamos achar as componentes da força R → 1 :

Perceba que o braço de alavanca com relação ao ponto A é:

Pronto, agora podemos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto A :

∑ M A = 0       →         100 9,81 1,2 - R 1 cos ⁡ 5 ° + ϕ 2,2 = 0

1 177,2 - R 1 cos ⁡ 5 ° + 31,0 ° 2,2 = 0

Então, o valor de R 1 é:

R 1 = 661   N

Passo 3

Vamos traçar um eixo especial, perpendicular à linha de ação de   R → 2 e marcar os ângulos:

Vamos marcar melhor os ângulos:

O ângulo entre P e o eixo x é ϕ , pois existe um ângulo de 90 ° entre esse ângulo ϕ e o outro ângulo ϕ (que é aquele R 2 faz com a vertical)!!!

E θ ?

Olhando esse grupamento de ângulos, percebemos que a soma dos mesmos tem que dar 90 ° . Assim:

θ + ϕ + 5 ° + ϕ = 90 °       ���       θ = 90 ° - 2 ϕ - 5 °

Lembrando que ϕ = 31,0 ° :

θ = 90 ° - 2 31,0 ° - 5 °       →         θ = 23,1 °

Passo 4

Agora basta a gente fazer o equilíbrio das forças nesse eixo x que criamos. Mas para isso temos que decompor as forças neste eixo:

∑ F x = 0     →     661 c o s 23,1 ° - P c o s 31,0 ° = 0

P = 709   N

Resposta

P = 709   N

Exercício Resolvido #8

O coeficiente de atrito estático μ s , entre o corpo de 100   k g e a cunha com ângulo de 15 ° vale 0,20 . Determine o módulo da força P necessária para levantar o corpo de 100   k g se:

  1. Rolamentos com atrito desprezível estejam colocados sob a cunha como mostrado.
  2. Os rolamentos sejam removidos e o coeficiente de atrito estático μ s = 0,20 seja válido para essa superfície também.

Passo 1

A presença dos rolamentos indica que não existe atrito na parte inferior da cunha.

Podemos, então, desenhar o sistema de forças na cunha como sendo esse:

Perceba que a resultante R 1 é perpendicular e não inclinada neste caso, pois não existe atrito na parte de baixo da cunha.

Então, o ângulo de atrito é:

ϕ = a r c t g μ       →         ϕ = a r c t g 0,2

ϕ = 11,31 °

Olhando para o equilíbrio horizontal desse sistema, podemos achar uma relação entre P e R 2 .

Mas antes temos que achar a componente horizontal da força R 2 :

Então:

∑ F x = 0       →       R 2 s e n ϕ + 15 ° - P = 0

R 2 s e n 11,31 ° + 15 ° - P = 0

R 2 = P sen ⁡ 26,31 °

Passo 2

Agora vamos olhar para o corpo:

Olhando para o equilíbrio vertical, temos:

R 2 cos ⁡ ϕ + 15 ° - W = 0

R 2 cos ⁡ 11,31 ° + 15 ° - W = 0

Onde W é o peso e seu módulo vale:

W = 100 9,81 = 981   N

E sabendo que:

R 2 = P sen ⁡ 26,31 °

Substituindo esse valor na expressão do equilíbrio vertical, temos:

R 2 cos ⁡ 11,31 ° + 15 ° - W = 0

P sen ⁡ 26,31 ° cos ⁡ 26,31 ° - 981 = 0

P = 981 s e n 26,31 ° cos ⁡ 26,31 °

P = 485   N

Passo 3

Agora existe atrito entre a base da cunha e o chão. Com isso, algumas coisas mudarão, mas outras não!!!

Vamos olhar primeiro para o corpo:

Os valores dos ângulos não mudaram, certo?

E nem peso mudou!

Então, o valor de R 2 também não mudou. Podemos calcular esse valor da mesma forma que vimos antes:

R 2 cos ⁡ 11,31 ° + 15 ° - W = 0

R 2 = W cos ⁡ 26,31 °         →         R 2 = 981 cos ⁡ 26,31 °

R 2 = 1094   N

Agora, voltando para o equilíbrio da cunha, vemos um cenário diferente:

Como você pode ver, agora existe um ângulo entre a reação R 1 e a superfície da cunha devido ao atrito. Temos que aplicar o equilíbrio vertical para achar o novo valor de R 1 .

Mas antes temos que achar as componentes verticais dessas forças que estão inclinadas:

Então, o nosso equilíbrio vertical fica:

∑ F y = 0     →     R 1 cos ⁡ 11,31 ° - R 2 cos ⁡ 11,31 ° + 15 ° = 0

R 1 cos ⁡ 11,31 ° = R 2 cos ⁡ 26,31 °

R 1 = R 2 cos ⁡ 26,31 ° cos ⁡ 11,31 °           →         R 1 = 1094 0,9141

R 1 = 1115,56 . 0,9141 = 1000   N

Agora, aplicando o equilíbrio horizontal:

∑ F x = 0     →     R 2 s e n 11,31 ° + 15 ° + R 1 s e n 11,31 ° - P = 0

P = 1094 s e n 26,31 ° + 1000 s e n 11,31 ��

P = 484,89 + 196,12

P = 681   N

Resposta

a )   P = 48 5   N

b )   P = 681   N

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