Teoria

Introdução

Você sabe o que é um Mancal?

Mancais são estruturas que servem de apoio para eixos giratórios.

Nesse tópico vamos aprender um pouco sobre a Física desses elementos. Bora lá!

Mancais Radiais

Mancais radiais são aqueles que dão suporte lateral a um eixo. Basicamente, um eixo entra em um mancal radial e é separado da superfície do mancal por uma certa folga:

No desenho, o círculo mais interno representa o eixo e o mais externo a superfície do mancal.

Bom, agora imagine que o mancal esteja submetido a uma carga axial L . Para o corpo ser equilibrado, surgirá uma reação R da superfície para o mancal, de mesmo módulo que L   mas de sentido contrário:

No entanto, essas duas forças não vão ser colineares, ou seja, não estão alinhadas. Pelo contrário, a força R será aplicada a uma distância r f do centro do eixo, numa região conhecida como círculo de atrito:

Sendo assim, a reação vai gerar um momento dado por:

M = R r f

Como:

L = R

M = L r f

E r f ? Esse carinha é dado por:

r f = r s e n ϕ

Onde ϕ é o ângulo de atrito.

Beleza, e se quisermos girar o eixo? Qual o momento necessário para que isso ocorra?

O momento necessário será exatamente M .

E é isso. Na maioria das questões você terá que usar essa equação do momento! Vamos ver isso melhor nos exercícios.

Mancais de Escoras e Atrito entre Discos

Nesse tipo de mancal, geralmente existem duas superfícies que são comprimidas uma contra a outra, o que gera um atrito entre elas:

Surge, então, da mesma forma que no outro tipo de mancal, a mesma pergunta: Qual é o momento necessário para fazer o mancal girar?

O momento, nesse caso, é dado pela integral:

M = ∫ μ p r d A

Onde:

  • μ : o coeficiente de atrito entre os discos;
  • p : a pressão de contato entre os discos;
  • r : a distância do termo infinitesimal d A até o centro do disco;
  • d A : o elemento infinitesimal de Área.

Sendo que essa área onde estamos integrando é a área de contato entre as duas superfícies. Se forem dois círculos, sendo um menor que o outro, será a área do círculo menor.

Quando a pressão for constante:

Para um caso em que a pressão de contato entre as placas é constante, podemos dizer que:

P = p A

P = p π R 2

Assim:

p = P π R 2

Substituindo na integral:

M = ∫ μ P π R 2 r d A       →       M = μ P π R 2 ∫ r d A

Chamando d A de:

d A = 2 π r d r

Assim:

M = μ P π R 2 ∫ r 2 π r d r   ���     M = 2 μ P R 2 ∫ 0 R r 2 d r

M = 2 μ P R 2 r 3 3 | 0 R       →       M = 2 μ P R 2 R 3 3

M = 2 3 μ P R

Essa é a equação para o caso em que a pressão é constante! Guarde-a na memória.

E se o mancal que aparecer tiver o formato de um anel com raio interno ( R i ) e raio externo ( R o ), você vai ter que utilizar esta fórmula aqui:

M = 2 3 μ P R o 3 - R i 3 R o 2 - R i 2

Bora praticar agora!!!

Mancais de Escoras e Atrito entre Discos

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Os dois rotores estão montados no mesmo eixo, que está apoiado por um mancal radial entre eles. Cada rotor tem uma massa de 40   k g e o diâmetro do eixo vale 40   m m . Se um momento M   de 3   N ⋅ m é necessário para manter a rotação dos rotores e do eixo em uma velocidade constante baixa, calcule:

  1. O coeficiente de atrito no mancal.
  2. O raio r f do círculo de atrito.

Passo 1

No caso de um mancal radial, podemos relacionar a carga radial L , o raio do eixo r , o seno do ângulo de atrito ( s e n ϕ ) e o momento M com a seguinte fórmula:

M = L r s e n ϕ

Quem é a carga radial nesse caso? É o próprio peso dos rotores!

Então, vamos calcular este peso:

L = 2 m g = 2 40 9,81

L = 784,8   N

Multiplicamos o peso por 2 , pois temos 2 rotores!

Passo 2

O raio do eixo vale:

r = D 2 = 0,04 2

r = 0,02   m

Agora podemos calcular o ângulo de atrito sabendo que o momento necessário para manter a rotação dos rotores e do eixo é de 3   N ⋅ m , então:

M = L r s e n ϕ

3 = 784,8   0,02 s e n ϕ       →       s e n ϕ = 0,1 911

Assim, o ângulo de atrito será:

ϕ = a r c s e n 0,1911 = 11,02 °

Sabendo o ângulo de atrito podemos calcular o coeficiente de atrito μ , pois:

ϕ = a r c t g ( μ )

Então, podemos calcular μ da seguinte forma:

μ = t a n ϕ       →         μ = tan ⁡ 11,02 °

μ = 0,19 47

Passo 3

E para calcular o raio do círculo de atrito? Basta a gente usar:

r f = r s e n ϕ

r f = 20 s e n 11,02 °

r f = 3,82   m m

Resposta

a )   μ = 0,1947

b )   r f = 3,82   m m

Exercício Resolvido #2

O disco circular A é colocado sobre o topo do disco B e submetido a uma força compressiva de 400   N . Os diâmetros de A   e   B valem 225   m m   e   300   m m , respectivamente, e a pressão em cada disco é constante em toda a superfície. Se o coeficiente de atrito entre A e B vale 0,4 , determine o momento M que fará com que A deslize sobre B . Além disso, qual é o coeficiente de atrito μ mínimo entre B e a superfície de apoio C que impedirá que B gire?

Passo 1

Para calcular o momento temos que usar a nossa fórmula aqui:

M = 2 3 μ P R

Onde R é o raio do círculo menor, pois o disco A é que vai girar. E P é a força compressiva de 400   N .

Passo 2

Para o primeiro caso, estamos considerando o momento que fará com que A deslize sobre B . Basicamente, estaremos calculando o momento máximo que causa a iminência do movimento.

Sendo assim, o raio R que vamos usar é o raio do círculo menor:

R A = D A 2 = 112,5   m m

Então, o momento será:

M = 2 3 μ P R A     →       M = 2 3 0,4 400 0,1125

M = 12   N ⋅ m

Passo 3

Agora queremos saber qual o coeficiente de atrito mínimo que impede o giro da placa B sobre C .

O que continua constante nos dois casos? O momento!!!

Como um momento de 12   N ⋅ m está sendo aplicado na placa B , a placa C precisará aplicar um momento contrário, mas de mesmo módulo, para impedir a rotação. Sendo assim:

M ' = 12   N ⋅ m

Ah, e agora o raio será o raio de B :

R B = D B 2 = 150   m m = 0,15   m

Então, o momento será calculado pela nossa fórmula:

M ' = 2 3 μ m í n P R B

12 = 2 3 μ m í n 400 0,15     →       μ m í n = 3 ( 1 2 ) 2 400 0,15

μ m í n = 0,3

Resposta

M = 12   N ⋅ m

μ m í n = 0,3

Exercício Resolvido #3

Determine a força trativa T no cabo para suspender a carga de 800   k g se o coeficiente de atrito para o mancal de 30   m m vale 0,25 . Determine, também, a força trativa T 0 na seção estacionária do cabo. As massas do cabo e da polia são pequenas e podem ser desprezadas.

Passo 1

Podemos desenhar nosso sistema assim:

O r f é calculado assim:

r f = r s e n ϕ

Mas antes temos que calcular o ângulo ϕ :

ϕ = a r c t g ( μ )       →         ϕ = a r c t g ( 0,25 )

ϕ = 14,04 °

Então, r f será igual a:

r f = r s e n ϕ       →         r f = 15 s e n ( 14,04 )

r f = 3,64   m m

Passo 2

Para determinar as forças, temos que usar as equações de equilíbrio.

Vamos começar fazendo o somatório de momentos com relação ao ponto A , considerando o momento positivo girando no sentido anti-horário:

∑ M A = 0       →       -   T R - r f + T o R + r f = 0

-   T 0,15 - 0,00364 + T o 0,15 + 0,00364 = 0

0,146 T = 0,154 T o       →         T = 0,154 T o 0,146

T = 1,05 T o

Passo 3

Agora vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         P - T - T o = 0

  800 9,81 - T - T o = 0       →         T + T o = 7848

Vamos substituir T = 1,05 T o nesta equação que acabamos de achar:

T + T o = 7848       →         ( 1,053 T o ) + T o = 7848

T o = 3828   N

E T vai ser:

T = 1,05 T o       →         T = 1,05 ( 3828 )

T = 4020   N

Resposta

T = 4020   N

T o = 3828   N

Exercício Resolvido #4

Calcule o torque M necessário para girar o carretel de cabo telefônico de 280   k g no sentido horário contra a força trativa de 1,6   k N no cabo. O diâmetro do mancal vale 62,5   m m e o coeficiente de atrito para o mancal é 0,30 .

Passo 1

Vamos lembrar um conceito que vimos em tópicos anteriores: o conceito de sistema força binário resultante.

Queremos calcular o momento necessário para fazer o carretel girar no sentido horário, certo? Mas antes disso, temos que calcular os momentos contrários a esse movimento.

O momento da força de 1,6   k N em relação ao ponto O no centro do carretel é dado por:

M 0 = 1,6 x 10 3 ( 0,55 ) = 880   N ⋅ m

Isso no sentido anti-horário.

Passo 2

Agora vamos representar o sistema de forças completo:

A força peso W do carretel tem módulo de:

W = 280 9,81   →       W = 2746,8   N

Tá vendo? Deslocamos a força de 1600   N para o ponto que queremos, além de representar o seu momento por meio de um binário. Que ponto é esse? É o ponto localizado a uma distância r f do centro do sistema.

Agora devemos calcular a força resultante devido à força aplicada e ao peso.

Assim:

F → R = 1600 cos ⁡ 45 ° i ^ + 1600 s e n 45 ° j ^ + 2746,8   j ^

F → R = 1131,4 i ^ + 1131,1 + 2746,8   j ^

F → R = 1131,4 i ^ + 3878,2 j ^

Assim, o módulo dessa força vale:

F → = 1131 , 4 2 + 3878,2 2

F → = 4039,85   N

Passo 3

Agora vamos descobrir o ângulo de atrito:

ϕ = a r c t g μ     →       ϕ = a r c t g 0,3

ϕ = 16,70 °

Com isso vamos poder calcular r f . É importante calcular r f porque a força resultante vai estar localizada a essa distância do centro do círculo. Repare que no enunciado foi dado o diâmetro do mancal que vale 62,5   m m , mas temos que usar o raio do mancal para calcular r f :

r f = r s e n 16,70 ° = 62,5 2 s e n 16,70 °

r f = 8,98   m m     →         r f = 0,00898   m

Com isso, podemos calcular o momento gerado pela força resultante:

M 0 ' = F R r f = 4039,85 0,00898   = 36,28   N ⋅ m

Passo 4

Show de bola! Já temos tudo que precisamos para calcular o momento M . Esse momento tem que se opor aos dois momentos que calculamos antes de forma a fazer com que o sistema fique na iminência de girar. Assim:

∑ M = 0       →       M - 36,28 - 880 = 0

M = 9 16,28   N ⋅ m

Resposta

M = 916,28   N ⋅ m

Exercício Resolvido #5

O peso do tambor D e de seu cabo é de 45   k g e o coeficiente de atrito μ para o mancal vale 0,20 . Determine a força P necessária para suspender o cilindro de 40   k g se o atrito no mancal é ( a ) desprezível e ( b ) incluído na análise. O peso do eixo é desprezível.

Passo 1

Para o primeiro caso em que o atrito é zero, vamos ter que:

r f = 0

Então, podemos desenhar nosso sistema assim:

Repare que levamos a força P para o ponto central do tambor, mas para fazer isso temos que levar o momento que esta força faz com relação a este ponto:

M = P 0,4   →       M = 0,4 P

Beleza?

Passo 2

Para achar o valor da força P é só fazermos o somatório de momentos com relação ao ponto G :

∑ M G = 0       →       40 9,81 0,25 - 0,4 P = 0

P = 245   N

Passo 3

Agora vamos considerar o atrito, então:

r f ≠ 0

Então, precisamos calcular o ângulo ϕ :

ϕ = a r c t g ( μ )       →         ϕ = a r c t g ( 0,2 )

ϕ = 11,31 °

Portanto, r f será:

r f = r s e n ϕ       →         r f = 25 s e n ( 11,31 ° )

r f = 4,90   m m

Passo 4

Para esta nova situação, podemos desenhar o nosso sistema assim:

Para achar o valor da força P vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto B :

∑ M B = 0       →       40 9,81 0,25 + r f - 0,4 P + 45 9,81 r f + P ( r f ) = 0

40 9,81 0,25 + 0,0049 - 0,4 P + 45 9,81 0,0049 + P ( 0,0049 ) = 0

P = 2 59   N

Resposta

a )   P = 245   N

b )   P = 259   N

Exercício Resolvido #6

Cada uma das quatro rodas do veículo tem uma massa de 20   k g e está montada em um eixo de 80   m m de diâmetro. A massa total do veículo é 480   k g , incluindo as rodas, e está distribuída igualmente pelas quatro rodas. Se uma força P = 80   N é necessária para manter o veículo rodando sob uma velocidade constante baixa sobre uma superfície horizontal, calcule o coeficiente de atrito que existe nos mancais das rodas. (Sugestão: Desenhe um diagrama de corpo livre completo para uma roda.)

Passo 1

Como foi sugerido, vamos montar o nosso diagrama de corpo livre para uma das rodas:

O peso do veículo ( W V ) suportado por cada roda vai ser o peso total dividido entre as quatro rodas. Mas repare que a massa de 480   k g também inclui a massa das quatro rodas.

Então, a massa do veículo ( m V ) vai ser:

m V = 480 - 4 20 = 400   k g

Com isso, o peso do veículo fica:

W V = 40 0 ( 9,81 ) 4 = 981   N

E o peso de cada roda ( W R ) será:

W R = 20 9,81 = 196,2   N

Repare também a força P foi dividida entre as quatro rodas e por isso ficamos com:

P 4 = 80 4 = 20   N

Beleza?

Passo 2

Fazendo o equilíbrio de forças verticais na roda, surge uma força normal igual a:

∑ F y = 0       →       N - W V - W R = 0

N = 981 + 196,2       →         N = 1177,2   N

E fazendo o equilíbrio das forças horizontais, temos:

∑ F x = 0       →       P 4 - F = 0

F = P 4       →         F = 20   N

Então, vamos ter o seguinte diagrama de corpo livre:

Repare que se fizermos o somatório de momentos com relação ao ponto G , surge um momento devido a força P 4 .

Então, para termos um equilíbrio precisa surgir um momento M :

∑ M G = 0       →       M - P 4 ( 0,4 ) = 0

M - 20 0,4 = 0     →       M = 8   N ⋅ m

Passo 3

Sabendo que o momento em um mancal é calculado por:

M = L r s e n ϕ

Onde, L é a carga suportada pelo mancal que vai ser o peso do veículo:

L = W V       →         L = 981

E r é o raio do mancal que vale:

r = 80 2 = 40   m m = 0,4   m

Então, vamos ter que:

M = L r s e n ϕ     →         8 = ( 981 ) ( 0,04 ) s e n ϕ

s e n ϕ = 0 , 2       →         ϕ = a r c s e n ( 0,2039 )

ϕ = 11,76 °

Agora sim podemos calcular o coeficiente de atrito:

μ = t g ϕ     →         ϕ = 0,208

Resposta

ϕ = 0,208

Exercício Resolvido #7

O caixote de 10   M g é abaixado para uma câmara de armazenamento subterrânea em um elevador de dois parafusos projetado como mostrado. Cada parafuso tem uma massa de 0,9   M g , um diâmetro médio de 120   m m e uma rosca quadrada simples com um passo de 11   m m . Os parafusos são girados em sincronismo por uma unidade motorizada na base do dispositivo. Toda a massa do caixote, dos parafusos e da plataforma de 3   M g do elevador é sustentada uniformemente por mancais radiais planos em A , cada um tendo um diâmetro externo de 250   m m e um diâmetro interno de 125   m m . A pressão nos mancais é considerada uniforme sobre toda a superfície dos mancais. Se o coeficiente de atrito para os mancais radiais e os parafusos em B vale 0,15 , calcule o torque M que deve ser aplicado a cada parafuso ( a ) para suspender o elevador e ( b ) para abaixar o elevador.

Passo 1

Para suspender o elevador, é necessário apertar os parafusos, então vamos usar a seguinte equação:

M = W r t g α + ϕ

Então, vamos começar calculando o ângulo de hélice ( α ):

α = a r c t g L 2 π r

O passo do parafuso ( L ) vale 11   m m e o raio vai ser a metade do diâmetro que foi dado no enunciado:

r = 1 20 2 = 60   m m = 0,06   m

Então, o ângulo de hélice ( α ) será:

α = a r c t g L 2 π r     →         α = a r c t g 0,011 2 π 0,06

α = 1,671 °

Passo 2

Sabendo que o coeficiente de atrito ( μ ) vale 0,1 5 , vamos ter que o ângulo de atrito ( ϕ ) será:

ϕ = a r c t g μ       →         ϕ = a r c t g 0,1 5

ϕ = 8,53 °

Passo 3

A carga axial vai o peso do caixote somado com o peso da plataforma:

W = 10 000 9,81 + 3 000 9,81 = 12753 0   N

Repare que a unidade de massa foi dada em M g ( 10 6 g ) e é preciso passar para k g ( 10 3 g ) para calcular o peso!

Então, o momento necessário para apertar cada parafuso será:

M = W 2 r t g α + ϕ       →         M = 127,53 2 ( 0,06 ) t g 1,671 ° + 8,53 °

W = 689   N ⋅ m

Repare que a carga axial foi dividida pela metade já que cada parafuso suporta metade do peso total!

Passo 4

E para abaixar o elevador precisamos afrouxar o parafuso, então vamos ter que:

M = W 2 r t g ϕ - α       →         M = 127,53 2 ( 0,06 ) t g 8,53 ° - 1,671 °

M = 460   N ⋅ m

Passo 5

Agora vamos calcular o momento devido ao atrito nos mancais...

Repare que foi dito no enunciado que a pressão nos mancais é uniforme. Mas pela figura que mostra o mancal, vemos que ele tem o formato de um anel, ou seja, possui um raio interno ( R i = 0,125   m ) e um raio externo ( R o = 0 , 250   m ) .

Nesse caso, temos que usar a seguinte equação:

M = 2 3 μ P R o 3 - R i 3 R o 2 - R i 2

A força P vai ser o peso total do sistema:

P = 10000 9,81 + 3000 9,81 + 900 9,81 + 900 9,81 = 145188   N

Então, para cada mancal vamos ter que:

M = 1 2 2 3 ( 0,15 ) ( 136359 ) ( 0,25 ) 3 - ( 0 , 1 25 ) 3 ( 0,25 ) 2 - ( 0 , 1 25 ) 2

M = 1059   N ⋅ m

Passo 6

Então, para suspender o elevador o momento total será:

M = 689 + 1059 = 1748   N ⋅ m

E para abaixar o elevador vamos ter que o momento total vai ser de:

M = 460 + 1059 = 1519   N ⋅ m

Resposta

a )   M = 1748   N ⋅ m

b )   M = 1519   N ⋅ m

Exercício Resolvido #8

Determine a expressão para o torque M necessário para girar o eixo cuja pressão axial L é sustentada por um mancal cônico. O coeficiente de atrito é μ , e a pressão no mancal é constante.

Passo 1

Opa! Esse mancal aí é diferente, né?

Mas vamos dar um jeito resolver esse problema, fique tranquilo!

A pressão nesse caso também não é constante, já que a seção transversal é variável. No caso constante, nós usamos:

L = p π R 2

Nesse caso, vamos usar:

L = ∫ p ' d A

Passo 2

A área que queremos integrar é definida pelos limites z 1 e   z 2 .

Mas quem é d A ?

d A = 2 π r d S

Geralmente escrevemos algo como:

d A = 2 π r d z

Mas no nosso caso, a nossa dimensão está curvada, já que a superfície é inclinada. Veja no triângulo abaixo:

Desse modo, podemos escrever:

d z = d S c o s α 2 → d S = d z cos ⁡ α 2

Assim:

d A = 2 π r d S

d A = 2 π r d z cos ⁡ α 2

Vamos agora escrever r em função de z . Observe o nosso triângulo:

Perceba que:

r = z t g α 2

Então, substituindo r na nossa equação de d A temos que:

d A = 2 π r d z cos ⁡ α 2       →         d A = 2 π z t g α 2 cos ⁡ α 2 d z

Passo 3

Perceba também que a pressão p faz um ângulo com a horizontal. Nós estamos integrando para achar L , que é totalmente vertical. Por isso que estamos integrando p ' que é a componente vertical de p e é dada por:

p ' = p s e n α 2

Ufa! Jogando tudo na integral:

L = ∫ p ' d A

L = ∫ p s e n α 2 2 π z t g α 2 cos ⁡ α 2 d z

Arrumando isso aí, temos que:

L = ∫ 2 π p t g 2 α 2 z d z

Passo 4

Vamos integrar em z . Mas quais são os limites de integração?

Usando dois triângulos marotos, vamos usar a trigonometria para achar esses limites, que são coordenadas de z :

Assim:

t g α 2 = d 1 2 z 1       →         z 1 = d 1 2 t g α 2

E:

Assim:

t g α 2 = d 2 2 2       →         z 2 = d 2 2 t g α 2

Agora já podemos integrar:

L = ∫ 2 π p t g 2 α 2 z d z       →       2 π p t g 2 α 2 ∫ z 1 z 2 z d z

  L = 2 π p t g 2 α 2 z 2 2 | z 1 z 2

L = 2 π p t g 2 α 2 z 2 2 2 - z 1 2 2

Mas já achamos os valores de z 1 e z 2 , então vamos substituí-los:

L = 2 π p t g 2 α 2 z 2 2 2 - z 1 2 2

∴  

L = 2 π p t g 2 α 2 d 2 2 t g α 2 2 2 - d 1 2 t g α 2 2 2

L = 2 π p t g 2 α 2 1 t g 2 α 2 d 2 2 4 - d 1 2 4 2  

Simplificando isso aí, vamos ter que:

L = π p t g 2 α 2 1 t g 2 α 2 d 2 2 4 - d 1 2 4       →         L = π p d 2 2 4 - d 1 2 4

L = π p 4 d 2 2 - d 1 2

Como o que precisamos saber é a pressão p , vamos isolá-la:

L = π p 4 d 2 2 - d 1 2       →       p = 4 L π d 2 2 - d 1 2

Pronto! Vamos agora falar do momento.

Passo 5

O momento é dado por:

M = ∫ z 1 z 2 r μ p d A

A boa notícia é que já definimos r ,   z 2 ,   z 1   e   d A . Então, basta a gente tacar tudo ali naquela integral:

M = ∫ z 1 z 2 z t g α 2 μ p 2 π z t g α 2 cos ⁡ α 2 d z

Arrumando essa bagunça:

M = 2 π μ p t g 2 α 2 cos ⁡ α 2 ∫ z 1 z 2 z 2 d z

M = 2 π μ p t g 2 α 2 cos ⁡ α 2 z 3 3 z 1 z 2

Agora é só substituir os limites:

M = 2 π μ p t g 2 α 2 cos ⁡ α 2 d 2 2 t g α 2 3 3 - d 2 2 t g α 2 3 3

L = 2 π μ p 3 t g 2 α 2 cos ⁡ α 2 1 t g 3 α 2 d 2 3 8 - d 1 3 8  

Vamos cortar as tangentes ao cubo com a tangente ao quadrado:

L = 2 π μ p 3 t g 2 α 2 cos ⁡ α 2 1 t g 3 α 2 d 2 3 8 - d 1 3 8

L = 2 π μ p 3 1 cos ⁡ α 2 1 t g α 2 d 2 3 8 - d 1 3 8  

Lembrando que t g = s e n c o s , podemos escrever a nossa equação assim:

L = 2 π μ p 3 1 cos ⁡ α 2 1 s e n α 2 c o s α 2 d 2 3 8 - d 1 3 8

L = 2 π μ p 3 1 cos ⁡ α 2 c o s α 2 s e n α 2 d 2 3 8 - d 1 3 8

Então, cortando os cossenos, vai nos restar:

M = 2 π μ p 24 s e n α 2 d 2 3 - d 1 3

Ufa! Agora é só substituir o valor que encontramos para pressão p em função de L nesta equação do momento aí de cima:

p = 4 L π d 2 2 - d 1 2

Assim:

M = 2 π μ 24 s e n α 2 d 2 3 - d 1 3 4 L π d 2 2 - d 1 2

M = μ L 3 s e n α 2 d 2 3 - d 1 3 d 2 2 - d 1 2  

Resposta

M = μ L 3 s e n α 2 d 2 3 - d 1 3 d 2 2 - d 1 2  

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