Atrito
Teoria
Introdução
Imagine que você queira puxar uma caixa bem pesada pelo chão:
Inicialmente é necessário fazer uma força bem grande para esta caixa se mover, não é mesmo?
Por que temos que fazer tanta força para tirar a caixa da inércia? Isso ocorre porque existe uma força que é contrária ao movimento chamada atrito.
Nesse tópico vamos aprender sobre dois tipos de atrito: o atrito estático e o atrito dinâmico.
Partiu?
Atrito Estático
O atrito estático é aquela força contrária ao movimento que surge antes do corpo entrar em movimento, daí o seu nome ser atrito estático.
Este tipo de atrito pode variar de zero até o máximo valor antes do corpo entrar em movimento, ou seja, quando o corpo está na iminência de se movimentar.
Nas questões de atrito o que precisamos saber é a força máxima () que se pode aplicar antes do corpo entrar em movimento e para isso vamos usar esta fórmula aqui:
Onde:
- é o coeficiente de atrito estático e isso geralmente é dado no enunciado;
- é a força normal, ou seja, aquela força que surge sempre que há contato do corpo com a superfície de apoio.
Atrito Dinâmico
O atrito dinâmico () é aquele atrito que surge após o corpo entrar em movimento, daí o seu nome ser atrito dinâmico.
Para calcular o seu valor, que agora vai ser constante, vamos utilizar esta fórmula aqui:
Onde:
- é o coeficiente de atrito dinâmico e geralmente é dado no enunciado;
- é a força normal devido ao contato do corpo com a sua superfície de apoio.
Atrito Estático versus Atrito Dinâmico
Já reparou que é preciso muito mais força para colocar um corpo em movimento do que para manter o seu movimento? Isso ocorre porque a força de atrito dinâmico é menor do que a força de atrito estático.
Podemos visualizar isto neste gráfico:
No eixo horizontal temos uma força que é aplicada no corpo e no eixo vertical temos a força de atrito que surge como consequência disso.
Ao aumentarmos a força aplicada, aumentamos a força de atrito até que ela atinge um máximo () depois o atrito diminui até o patamar do atrito dinâmico () e fica constante.
Observação: existe uma breve região de transição entre o atrito estático e o dinâmico, mas nos exercícios você pode desconsiderá-la. Então, se o atrito for maior que o estático, considere-o como atrito dinâmico e pronto.
É estático ou é dinâmico?
Voltando ao nosso bloquinho... E se um problema te der uma força e te pedir para calcular o valor da força de atrito?
Vamos dizer que os seguintes dados são mencionados: , e .
Quando aplicamos uma força puxando o bloquinho surge uma outra força contrária ao movimento que é a força de atrito :
Neste tipo de problema vamos admitir inicialmente que o atrito é estático, ou seja, o corpo está parado. Então, vamos fazer o equilíbrio de forças:
Observação: nós também admitimos um sentido para o atrito. Caso o resultado da etapa acima der negativo, inverta o sentido da força de atrito e tudo certo!
Agora vem o teste: será que a força de atrito está realmente na região estática? Para saber isso você precisa calcular a força de atrito máxima.
Mas antes é necessário saber a força normal . Podemos fazer isso usando o equilíbrio vertical:
Sabendo que o peso do bloquinho é:
Então:
Pronto, agora podemos calcular a força de atrito estático máxima:
Opa, nesse caso:
já que
Então, realmente o corpo está parado e o atrito estático tem valor igual a:
Show de bola?
Agora vamos aumentar um pouco a força para ver o que acontece... Vamos fazer :
Nesse caso:
De novo vamos partir do princípio que o atrito é estático e que o corpo está parado:
Como o peso do bloquinho não mudou, o seu peso continua o mesmo. Desse modo, a força de atrito estático máxima também não muda:
Mas desta vez a força que aplicamos gerou um atrito maior que o atrito estático máximo:
já que
Então, o atrito na verdade é dinâmico e não estático como supomos inicialmente.
E como se calcula o atrito dinâmico? É só usarmos a nossa equação:
Ou seja, neste último caso que fizemos o atrito é dinâmico, pois o corpo vai estar em movimento e seu valor é:
Sacou?
Vamos fazer uns exercícios pra entendermos melhor!
Atrito Dinâmico
Atrito Estático versus Atrito Dinâmico
É estático ou é dinâmico?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 253, 6/1
A força é aplicada ao caixote de , que está em repouso antes que ela seja aplicada. Determine o módulo e a direção da força de atrito exercida pela superfície horizontal sobre o caixote se:
- ;
- ;
- .
Passo 1
Podemos representar o nosso caixote assim:
Repare que ao aplicar a força surge uma força de atrito contrária à tendência de movimento, ou seja, apontando para o sentido negativo do eixo .
O módulo da força de atrito é dado por:
Onde é o módulo da força normal.
Passo 2
Bom, para que o bloco esteja em equilíbrio, precisamos satisfazer as seguintes condições:
Então:
E na vertical vamos ter que:
Passo 3
Com esse valor da força normal, podemos calcular a força de atrito máxima para que o bloco continue parado:
Sabendo que , vamos analisar cada situação:
- :
- :
- :
Neste caso, a força é menor do que a máxima força de atrito que pode ter para que o bloco continue parado, então o caixote não irá se mover:
Neste caso, a força continua menor do que a máxima força de atrito que pode ter para que o bloco continue parado, então o caixote também não irá se mover:
Neste caso, a força ultrapassou a máxima força de atrito que pode ter para que o bloco continue parado, então o caixote deixa de ter uma força de atrito estática e passa a ter uma força de atrito dinâmica, que é dada pela expressão:
Resposta
Exercício Resolvido #2
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 253, 6/2
O bloco de está em repouso sobre a superfície horizontal e uma força , cuja direção pode ser variada, é aplicada ao bloco.
- Calcule o coeficiente de atrito estático , entre o bloco e a superfície, se o bloco começa a deslizar quando é reduzido para
- Se é aplicado com , calcule a força de atrito
Passo 1
Quando aplicamos a força surge uma força de atrito contrária ao movimento:
O módulo da força de atrito é dado por:
Onde é o módulo da força normal.
Passo 2
Bom, para que o bloco esteja em equilíbrio, precisamos satisfazer as seguintes condições:
Temos essas forças atuando no bloco:
Repare que para achar as componentes verticais e horizontais da força temos que fazer:
Então, fazendo o equilíbrio das forças horizontais vamos ter que:
Show de bola! Já achamos uma relação para achar Basta a gente calcular o módulo da força normal agora fazendo o equilíbrio de forças verticais:
Lembrando que , vamos ter que:
Agora podemos calcular :
Passo 3
Agora temos que calcular a força de atrito para . Para isso vamos fazer o equilíbrio horizontal:
Resposta
Exercício Resolvido #3
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 253, 6/3
A força é aplicada ao caixote de quando ele está em repouso. Determine o módulo e a direção da força de atrito exercida pela superfície sobre o caixote se
Que valor de é necessário para iniciar o movimento para cima do plano inclinado? Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre o caixote e o plano são e , respectivamente.
Passo 1
Nesse caso, como , estamos lidando com um problema de plano inclinado onde só temos a força peso () do bloquinho e a normal que surge do contato entre o bloco e a superfície:
Vamos decompor a força peso no eixo :
Nesse caso, as componentes do peso ao longo do plano e perpendicular ao mesmo são:
Onde é o peso do bloquinho e vale:
Passo 2
Quando o bloquinho tende a descer o plano inclinado, surge uma força de atrito contrária ao movimento:
Vamos fazer o equilíbrio das forças que estão no eixo :
Duas forças agem ao longo do plano: a força de atrito e a componente do peso. Assim:
E ao longo do eixo Nesse caso, existe a força normal e a componente do peso:
E agora? O que temos que fazer? Temos que ver se aquela força de atrito não ultrapassa o atrito estático máximo. Caso ultrapasse, o atrito que estamos lidando é o dinâmico e teremos que recalcular.
Então:
Perceba que o atrito que achamos é maior que o atrito máximo:
Então, o atrito, na verdade, é dinâmico e deve ser calculado pela fórmula do atrito dinâmico:
E a sua direção e sentido? A força de atrito é contrária ao movimento do bloquinho, então ela aponta no sentido da parte negativa do eixo
Passo 3
Agora vamos considerar a força . Vamos fazer quase a mesma coisa, só que agora vamos incluir nas equações as componentes da força
Então vamos decompor esta força no nosso eixo :
Então, fazendo o equilíbrio das forças que estão no eixo , temos:
Opa, o atrito deu negativo. Isso quer dizer que assumimos um sentido errado para o atrito. Se você reparar na nossa equação acima, assumimos que ele aponta no sentido contrário ao eixo . Como o sinal deu negativo, ele aponta no sentido positivo do eixo :
Então, o vetor da força de atrito fica assim:
E agora? Agora a gente tem que ver se o valor da força de atrito que calculamos é maior ou menor que a força de atrito máxima.
Para isso temos que calcular a normal novamente fazendo o equilíbrio das forças que estão no eixo :
Agora vamos calcular a força de atrito estático máxima:
Perceba que a força de atrito que calculamos é menor que a força de atrito estático máxima!
Então, a nossa premissa de que a força de atrito era menor que a for��a de atrito máxima estava correta e podemos dizer que:
Passo 4
Agora vamos considerar a força .
Vamos fazer a mesma coisa que antes, só mudamos o valor da força. Assim:
Se deu negativo, então o sentido que escolhemos para a força de atrito estava errada. Como estávamos assumindo que o atrito apontava para cima, ele na verdade está apontando para baixo:
Então, a força de atrito pode ser escrita assim:
Mas precisamos calcular a força de atrito estático máxima novamente, pois o valor da normal vai mudar. Então, vamos fazer o equilíbrio das forças que estão no eixo :
Então, a força de atrito estático máxima vai ser:
Perceba que a força de atrito que achamos é maior que a força de atrito estático máxima:
O nosso atrito é, na verdade, dinâmico. Então, precisamos usar a fórmula do atrito dinâmico para calculá-lo:
Então, o nosso atrito é:
Passo 5
O valor de necessário para iniciar o movimento para cima do plano inclinado é tal que a componente de no eixo esteja prestes a superar o valor máximo do atrito estático menos a componente do peso do bloco que está no eixo :
Isso significa que para se iniciar o movimento:
Vamos considerar a situação do “prestes a superar”, igual a:
Neste caso:
O é ângulo de inclinação da força que é de . Vamos deixar para substituir seu valor lá no final!
Mas o valor de é estabelecido através da equação de equilíbrio no eixo :
Substituindo na primeira equação que achamos, vamos ter que:
Substituindo os valores, encontramos:
Resposta
Exercício Resolvido #4
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 253, 6/5
Determine o módulo e a direção da força de atrito que a parede vertical exerce sobre o bloco de se:
Passo 1
As forças que agem nesse sistema são: a força peso (), a força de atrito (), a força normal () e a força
Perceba que a normal é horizontal, porque ela surge do contato entre o bloco e a parede.
E arbitramos o atrito apontando para cima, quando fizermos o equilíbrio veremos se acertamos ou não dependendo do sinal que encontrarmos para a .
Passo 2
Vamos ao primeiro caso, quando o ângulo vale Vamos começar pelo equilíbrio vertical:
Perceba que temos que decompor a força no eixo :
Então, vamos ter que:
Perceba que a deu positiva, isso significa que ela realmente aponta para cima!!!
Nós achamos o módulo da força de atrito....mas será que ela vale isso mesmo?
O que precisamos fazer é verificar se essa força está no atrito estático ou dinâmico.
Para isso, vamos calcular o atrito estático máximo. Se a nossa for menor que o valor máximo, ela estará correta. Se ela for maior, significa que o valor da força entrou no regime dinâmico. Daí teremos que calcular o atrito dinâmico, que é constante.
Para achar o atrito estático máximo, usamos:
Quanto vale a normal? Vamos descobrir isso fazendo o equilíbrio das forças horizontais:
Assim, o atrito máximo estático vale:
Perceba que o atrito que achamos é maior que o atrito estático máximo:
Sendo assim, o atrito é dinâmico. Então, temos que calcular o atrito utilizando a fórmula de atrito dinâmico:
Passo 3
Agora faremos a mesma coisa, só que com . Então, vamos começar pelo equilíbrio das forças verticais:
Vamos calcular o valor da normal nesta situação fazendo o equilíbrio das forças horizontais:
Agora podemos calcular a força de atrito estático máximo:
Perceba que o atrito que achamos é menor que o atrito estático máximo:
Então, a nossa força de atrito está correta:
Resposta
Exercício Resolvido #5
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 255, 6/19
A roda mostrada rolará para a esquerda quando o ângulo do cabo for pequeno. Quando for grande, a roda rolará para a direita. Determine, por inspeção da geometria do diagrama de corpo livre, o ângulo para o qual a roda não rolará. Se o coeficiente de atrito estático e a massa da roda é , determine o valor de para o qual a roda girará para o valor crítico de
Passo 1
Pense o seguinte: quando a roda não gira, o momento resultante é nulo, certo? Vamos pensar no ponto de giração abaixo, logo onde existe o contato entre a roda e o chão:
Se o momento resultante em relação a esse ponto for nulo, não ocorrerá o giro. E como garantimos isso?
Simples, basta que todas as forças sejam concorrentes nesse ponto, ou seja, que a linha de ação das forças que atuam na roda passe por este ponto. Sabemos que a força normal e o peso passam pelo ponto , só falta saber a força
Precisamos fazer a força passar pelo ponto de contato entre a roda e o chão, porque assim ela não gera momento com relação a este ponto (já que não vai ter braço de alavanca). Observe que o peso e a força normal passam por esse ponto.
Temos que arranjar um jeito de colocar o ângulo em função dos nossos dados que são os raios e . Para isso, vamos usar esse triângulo retângulo aqui:
Então, podemos dizer que:
Beleza?
Passo 2
Agora vamos utilizar as equações de equilíbrio para fazer achar a normal e a força de atrito. Para isso temos que achar as componentes vertical e horizontal da força :
Vamos começar fazendo o somatório das forças verticais:
E o equilíbrio horizontal fica:
Passo 3
Como queremos saber o ângulo máximo para o qual a roda não irá girar, ela estará na parte do atrito estático. Então, temos que calcular o atrito estático máximo:
Então, a nossa equação do equilíbrio horizontal pode ser escrita assim:
Mas já temos uma expressão para a força normal, lembra?
Vamos substituir ela na equação do equilíbrio horizontal:
Como queremos saber , vamos isolá-lo na equação:
Beleza?
Passo 4
Ainda temos que ajeitar mais a expressão de ...
Nós sabemos que:
Lembra da fórmula fundamental da trigonometria? Ela diz que:
Então, para saber quanto vale o vamos fazer:
Podemos ajeitar melhor isso:
Agora é só substituirmos o e o na nossa equação para achar :
Agora vamos arrumar essa expressão aí:
Resposta
Exercício Resolvido #6
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 257, 6/34
Dois automóveis, ambos tendo o centro de massa localizado como mostrado, a meia distância entre os eixos traseiro e dianteiro, são idênticos exceto que um tem tração dianteira e o outro tem tração traseira. Os carros são dirigidos à velocidade constante subindo rampas de várias inclinações. De um ponto de vista teórico de projeto, que carro subiria a rampa de maior ângulo de inclinação ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O que faz com que o carro suba? É justamente a força de atrito nas rodas!!!
Então, vamos montar nosso diagrama de corpo livre:
Onde é a força normal na roda traseira e é a normal na roda frontal.
O aumento das forças normais, automaticamente, aumenta as forças de atrito. É só verificar a fórmula de atrito:
Com o aumento do ângulo de inclinação, o carro tenderá, aos poucos, a tombar para trás, certo?
Isso fará, pouco a pouco, com que as rodas da frente percam o contato com a superfície, ou seja, aos poucos elas perderão a força normal. Exagerando seria isso uma situação assim:
Isso fará com que o atrito das rodas da frente diminua e até mesmo, na pior das hipóteses, seja nulo, já que:
Assim, se a tração estiver colocada nas rodas da frente, o carro perderá, pouco a pouco, a força que o faz andar.
Sendo assim, é melhor que a tração seja colocada nas rodas traseiras, o que fará com que o carro atinja maiores inclinações.
Resposta
Exercício Resolvido #7
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 253, 6/7
Dois homens estão deslizando um caixote de para cima no plano inclinado. Se o homem de baixo empurra horizontalmente com uma força de e se o coeficiente de atrito dinâmico vale , determine a força trativa que o homem de cima deve exercer na corda para manter o movimento do caixote.
Passo 1
Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre do caixote:
Repare que a força de é horizontal, pois foi dito isso no enunciado.
Como o bloco está se movendo, estamos lidando com o atrito dinâmico, o qual pode ser calculado pela seguinte fórmula:
Então, a nossa força de atrito será:
Como ainda não sabemos o valor da normal, vamos deixar assim!
Passo 2
Vamos começar fazendo o equilíbrio das forças que estão na direção do eixo . Para isso, precisamos decompor algumas das forças. Vamos começar pela força peso:
O módulo da força peso vale:
Já as componentes da força de vão ficar assim:
E por fim a força trativa :
Beleza?
Agora sim podemos fazer o somatório das forças na direção :
Vamos guardar esta equação!
Agora vamos fazer o equilíbrio de forças na direção :
Passo 3
Agora temos duas equações e duas incógnitas. Vamos resolver o sistema:
Vamos isolar a normal da segunda equação:
E substituir isso na primeira equação:
Agora que sabemos o valor de , podemos achar quanto vale a normal:
Resposta
Exercício Resolvido #8
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 260, 6/48
Um bloco de massa é colocado entre a parede vertical e o pequeno rolete ideal da extremidade superior, , da barra esbelta uniforme de massa A extremidade inferior, , da barra repousa sobre a superfície horizontal. Se o coeficiente de atrito estático em e também entre o bloco e a parede vale , determine a expressão geral para o valor mínimo , de para o qual o bloco permanecerá em equilíbrio. Avalie sua expressão para e . Para essas condições, verifique a possibilidade de haver deslizamento em
Passo 1
Nosso primeiro passo é montar o diagrama de corpo livre:
Passo 2
Vamos analisar primeiro o nosso bloco:
Perceba que só existe atrito no lado esquerdo do bloco, ou seja, atrito entre o bloco e a parede. Isso acontece porque no lado direito tem um rolete ideal, ou seja, sem atrito.
Como estamos lidando com uma situação extrema, devemos calcular o atrito como sendo o máximo. Então, o atrito entre o bloquinho e a parede será:
Vamos achar a normal no ponto fazendo o equilíbrio das forças verticais que atuam somente no bloquinho:
Passo 3
Agora vamos analisar a barra...
Onde é força de atrito em .
Vamos agora calcular, através do equilíbrio de momentos, outro valor para . Para isso, vamos fazer o somatório de momentos em relação à (isso elimina as forças e
Repare que distância da força peso da barra até o ponto é:
E a distância da força normal até o ponto é:
Então, considerando o momento positivo girando no sentido horário, o somatório de momentos com relação ao ponto das forças que atuam somente na barra fica assim:
Então, a força normal que atua na barra é:
Passo 4
Mas perceba que a força normal do bloco é transmitida para a barra por causa do contato entre esses dois elementos:
Ou seja, vamos igualar as duas expressões que achamos para :
Como queremos saber , vamos isolar o ângulo na expressão acima:
Perceba que estamos partindo do princípio que tudo está em equilíbrio. Assim, esse é o ângulo mínimo que estávamos procurando.
Sabendo que e , vamos ter que:
Passo 5
Agora precisamos verificar se esse ângulo realmente mantém o conjunto em equilíbrio...
Para isso, vamos checar se a força de atrito em é menor que a força de atrito máxima. Se for menor, isso significa que o ponto não entrou no regime dinâmico o que, em outras palavras, quer dizer que a barra não começou a deslizar.
Então, vamos fazer o equilíbrio horizontal das forças:
Mas sabemos que para a barra:
Então vamos substituir isso na nossa equação de equilíbrio:
Mas sabemos que , então:
Agora vamos fazer o somatório das for��as verticais para acharmos a força normal em :
Com , podemos calcular a força de atrito máxima:
Agora temos que comparar a força de atrito em que achamos com o seu valor máximo para que a barra continue parada:
Ou seja, o valor que achamos realmente é menor do que o valor máximo. Então, podemos garantir que a barra realmente não irá deslizar!