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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 116

Se a mola exerce uma força de 4500   N sobre o bloco determine o torque M necessário para girar o eixo. O coeficiente de atrito estático em todas as superfícies de contato é μ s = 0,3 .

Passo 1

Nessa questão temos um mancal de escora, onde precisamos encontrar o torque necessário para superar a força de atrito. O mancal de escora no eixo mostrado abaixo está sujeito a uma força axial P e tem uma área total do mancal ou de contato π R 2 2 - R 1 2 . Desde que o mancal seja novo e uniformemente apoiado, então a pressão normla p sobre o mancal será distribuído uniformemente sobre essa área. Como ∑ F z = 0 , então p , medido como uma força por unidade de área é p = P π R 2 2 - R 1 2 .

O momento necessário para causar iminência de rotação do eixo ser determinado a partir do equilíbrio de momento em relação ao eixo z . Um elemento diferencial de área d A = ( r d θ ) ( d r ) está sujeito a uma força normal d N = p d A e uma força de atrito associada,

d F = μ s d N = μ s p d A = μ s P π R 2 2 - R 1 2 d A

A força normal não cria um momento em relação ao eixo z do eixo motor; porém a força de atrito cria; a saber, d M = r d F . A integração é necessária para calcular o momento aplicado M necessário para superar todas as forças de atrito. Portanto, para iminência de movimento rotacional,

∑ M z = 0

M - ∫ A a r d F = 0

Substituindo por d F e d A e integrando sobre a a´rea inteira do mancal, temos:

M = ∫ R 1 R 2 ∫ 0 2 π r μ s P π R 2 2 - R 1 2 r d θ d r = μ s P π R 2 2 - R 1 2 ∫ R 1 R 2 r 2 d r ∫ 0 2 π d θ

M = 2 3 μ s P R 2 3 - R 1 3 ( R 2 2 - R 1 2 )

Passo 2

Vamos agora aplicar os valores da questão na equação encontrada acima! Temos que R 1 = 50 2 = 25   m m e R 2 = 150 2 = 75   m m , μ s = 0,3 e P = 4500   N . Como M é requerida para superara a força de atrito das duas superfícies de contato, temos:

M = 2 2 3 μ s P R 2 3 - R 1 3 R 2 2 - R 1 2

M = 2 2 3 ( 0,3 ) 4,5 × 10 3 75 × 10 - 3 3 - 25 × 10 - 3 3 75 × 10 - 3 2 - 25 × 10 - 3 2

M = 146,25   N m

Resposta

O torque necessário para girar o eixo é:

M = 146,25   N m

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