105. O coeficiente de atrito estático μ s entre o bloco   B e a superfície horizontal e entre a corda e o suporte C é 0,40 . Sabendo que m A = 12   k g , determine o menor massa do bloco B para que o equilíbrio seja mantido.

Passo 1

Bom! Antes de mais nada, a primeira coisa que temos que fazer é o esboço do nosso sisteminha, com as forças que nele estão presentes, o chamado “diagrama de corpo livre”.

Baseado nessa análise, vamos antes de mais nada, obter o valor de alguns esforços presentes na figura:

W A = m A ⋅ g

W A = ( 12   k g ) ⋅ ( 9,81   m / s 2 )

W A = 117,72   N

E depois, façamos o somatório das forças em y :

↑ + ∑ F y = 0

N B - W B = 0

N B = W B

Só que como a força de atrito,   F B , é o produto do coeficiente de atrito estático pela força de reação normal:

  F B = μ s N B = μ s W B

  F B = 0,4 W B

Estamos chegando lá! Pra não perder a viagem, bora aproveitar e fazer o somatório das forças em x , também:

→ + ∑ F y = 0

  F B -   T B = 0

  F B =   T B = 0,4 W B

Pronto! Obtemos algumas relações interessantíssimas!

Passo 2

Em seguida, vamos usar a seguinte equação para problemas que envolvem atrito, em condição de deslizamento:

T 2 T 1 = e β μ s

Onde T 2 , é a maior tração, e T 1 , é a menor tração. Só que a questão nos pede para determinar a menor massa do bloco B para que o equilíbrio seja mantido. Para isso, vamos analisar o suporte em C .

Bom!! A tendência é do corpo A cair aceleradamente. Isso ocorre, obviamente quando W A é maior do que T B . Vamos seguir esse raciocínio.

Passo 3

Bora lá! Para o nosso caso, a maior força é W A e a menor força é T B . Ficamos então, com a seguinte relação:

T 2 T 1 = e β μ s

W A T B = e β μ s

Bom! O coeficeiente de atrito estático, μ s , nós já sabemos ser igual a 0,40 . E o ângulo β , da figura do P a s s o   1 , tiramos que vale 90 ° ou π / 2   radianos. Obtemos, desse modo, a seguinte relação:

W A T B = e β μ s

T B = W A e β μ s

T B = W A ⋅ e - β μ s

T B = m A g ⋅ e - β μ s

T B = ( 12   k g ) ( 9,81   m / s 2 ) ⋅ e - 0,4 π / 2

T B = 62,8   N

Só que do P a s s o   1 , obtemos que:

  T B = 0,4 W B

Basta agora, resolver a equação:

W B =   T B 0,4

m B g = 62,8   N 0,4

m B = 157   N g

m B = 157   N 9,81   m / s 2

m B ≅ 16,00   k g

Resposta

m B ≅ 16,00   k g

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