107- O eixo do arco de três articulações A B C é uma parábola com vértice em B . Sabendo que P = 112   k N e Q = 140   k N , determine a ) os componentes da reação em A , b ) os componentes da força exercida em B sobre o segmento A B .

Passo 1

Vamos fazer esse exercício teoricamente pois a próxima é a mesma coisa somente muda os valores.

Dividindo o eixo em B teremos a seguinte decomposição de forças.

Pela estrutura a esquerda temos que a soma das forças horizontais nos dará:

A x = - B x ( 1 )

E a soma das forças verticais:

A y = P - B y ( 2 )

Agora fazendo a somatória dos momentos em A teremos:

- 8 - 3 P + 8 B y - 3.2 B x = 0

Dessa forma:

8 B y - 3.2 B x = 5 P ( 3 )

Passo 2

Se olharmos para a estrutura toda temos que:

A y + C y = P + Q ( 4 )

E

A x = - C x ( 5 )

E a somatória dos momentos em A nos dará:

- 5 P - 11 Q + 14 C y - 3.2 - 1.8 C x = 0

14 C y - 1.4 C x = 5 P + 11 Q ( 6 )

Passo 3

Agora olhando para a estrutura a direita temos:

C y = Q + B y ( 7 )

C x = B x ( 8 )

E pela somatória dos momentos em C .

6 B y + 3 Q + 1.8 B x = 0 ( 9 )

Fazendo um sistema de ( 9 ) com ( 3 ) temos:

6 B y + 1.8 B x = - 3 Q

8 B y - 3.2 B x = 5 P

Multiplicando a primeira por 3.2 e a segunda por 1.8 teremos”

19.2 B y + 5.76 B x = - 9.6 Q

14.4 B y - 5.76 B x = 9 P

Somando:

33.6 B y = 9 P - 9.6 Q

B y = 9 P - 9.6 Q 33.6

Dessa forma B x será:

6 9 P - 9.6 Q 33.6 + 1.8 B x = - 3 Q

1.8 B x = - 3 Q - 9 P - 9.6 Q 5.6

B x = - 5 3 Q - 9 P - 9.6 Q 10.08

O que fica:

B x = - 5 × 10.08 Q - 9 × 3 P + 9.6 × 3 Q 10.08 × 3

B x = - 21.6 Q - 27 P 30.24

Não esquecendo que temos:

A y = P - B y

E

A x = - B x

Passo 4

Aplicando os valores de P = 112   k N   e Q = 140   k N temos:

b)

B x = - 21.6 × 140 - 27 × 112 30.24 = - 200   k N

Sentido para a esquerda em A B

B y = 9 112 - 9.6 ( 140 ) 33.6 = - 10   k N

Sentido para baixo em A B

a)

A x = 200   k N

Sentido para a direita

A y = 112 - - 10 = 122   k N

Sentido para cima em A B .

Resposta

a )   A x = 200   k N → ; A y = 122   k N ↑

b )   B y = 10   k N ↓ ; B x = 200   k N ←

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