107. O pião de 12   g de raio de giração em relação ao seu eixo de giro de 16   m m está girando à taxa p = 3600   r p m no sentido indicado, com seu eixo de giro fazendo um ângulo θ = 20 ° com a vertical. A distância de sua ponta O até seu centro de massa G é r - = 60   m m . Determine a pressão do pião e explique porque θ diminui gradualmente enquanto a velocidade de giro se mantém elevada. Uma vista ampliada do contato na ponta é apresentada.

Passo 1

Inicialmente, vamos fazer o esboço do momento de negligência sobre o eixo z , isto é, a diminuição do ângulo θ em comparação com o eixo de rotação:

Passo 2

E como já temos os seguintes dados:

r - = 60   m m p = 3600   r p m e i x o   d e   g i r o   k = 16 m m θ = 20 °

Vamos usar a velha e conhecida fórmula:

M → 0 = I Ω → × p →

Só que o nosso p da fórmula, ao olhar a imagem bonitinha que fizemos, pode ser escrito como uma decomposição nas direções j ^ e k ^ :

p → = p ( cos ⁡ θ k ^ - sen ⁡ θ   j ^ )

E ficamos então com:

M → 0 = I Ω → × p ( cos ⁡ θ k ^ - sen ⁡ θ   j ^ )

M → 0 = I Ω k ^ × p ( cos ⁡ θ k ^ - sen ⁡ θ   j ^ )

M → 0 = I Ω k ^ × ( - p sen ⁡ θ   j ^ )

M → 0 = I Ω p sen ⁡ θ i ^

E M → 0 , da nossa imagem linda, tiramos que ele encontra-se na direção x , portanto com versor i ^ , e pode ser escrito como:

M → 0 = I Ω p sen ⁡ θ i ^

m g r - sen ⁡ θ i ^ = I Ω p sen ⁡ θ i ^

m g r - = I Ω p

E o momento de inércia I , para nossa alegria, sabemos que é dado pelo produto do quadrado do eixo de giro k pela massa m do nosso corpo. Logo:

I m = k 2

De modo que obtemos a seguinte relação:

g r - = Ω p k 2

Ω = g r - p k 2

Só nos resta agora, substituir os valores numéricos conhecidos:

Ω = ( 9,81   m / s ² ) ( 0,06   m ) ( 3600   r p m ⋅ 2 π 60 r a d / s ) ( 0,016   m ) 2

Ω ≅ 6,1   r a d / s

E em relação ao fato de que θ diminui gradualmente enquanto a velocidade de giro se mantém elevada, temos que é porque a força de atrito em A que está no papel, no eixo x , produz um momento M , para aumentar a velocidade rotação e um momento M 2 , que é responsável por causar a precessão que diminui θ . Esses momentos estão ilustrados na nossa bela imagem.

Resposta

Ω ≅ 6,1   r a d / s

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