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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 12

12- Determine as coordenadas x e y do centroide da área sombreada.

Passo 1

Utilizando linhas verticais para calcular o centro da região sombreada nós teremos:

Onde o comprimento dessa linha é o valor de y , que é o valor da função e é igual a:

L = y - 0 = 1 + x 3 6

E sua largura é d x , logo sua área será de:

d A = 1 + x 3 6 d x

E por seu comprimento estar em função de x , isso dá uma dica de o x médio ser ele mesmo:

x m = x

E o y médio será a média das funções de onde a linha está inserida, logo:

y m = 1 + x 3 6 2 = 1 2 + x 3 12

Passo 2

Calculando primeiro sua área teremos:

∫ 1 2 1 + x 3 6 d x = x + x 4 24 1 2 = 2 + 16 24 - 1 + 1 24 = 64 24 - 25 24 = 39 24

Passo 3

Agora calculando x - . Temos que fazer a seguinte integral.

x - = ∫ x m   d A ∫ d A

Calculando o numerador teremos:

∫ x m   d A = ∫ 1 2 x 1 + x 3 6 d x = ∫ 1 2 x + x 4 6 d x = x 2 2 + x 5 30 1 2 = 4 2 + 32 30 - 1 2 + 1 30 = 3 2 + 31 30 = 76 30 = 38 15

Dividindo os valores encontramos:

x - = 38 15 39 24 = 1.559

Passo 4

Para calcular y - .

y - = ∫ y m   d A ∫ d A

Calculando o numerador teremos:

∫ y m d A = ∫ 1 2 1 2 1 + x 3 6 2 d x = 1 2 ∫ 1 2 1 + 2 × x 3 6 + x 3 6 2 d x

1 2 ∫ 1 2 1 + x 3 3 + x 6 36 d x = 1 2 x + x 4 12 + x 7 7 × 36 1 2

Aplicando o intervalo:

1 2 2 + 16 12 + 128 252 - 1 2 1 + 1 12 + 1 252 = 1 2 1 + 15 12 + 127 252 = 1 2 252 + 315 + 127 252 = 694 504

Dividindo os dois por 2 temos:

∫ y m   d A = 347 252

Logo y - será:

y - = ∫ y m   d A ∫ d A = 347 252 39 24 = 0.847

Resposta

x - , y - = ( 1.559 ; 0.847 )

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