Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 39
Localize o centro de massa do corpo sólido homogêneo cujo volume é determinado pela revolução da área sombreada de 360° em torno do eixo z.
Passo 1
Sabendo que as equações para encontrar o centroide é dado por:
Dessa maneira, vamos primeiro encontrar o volume do problema.
Passo 2
Mas antes vamos escolher um elemento de volume, para assim podermos integrar, com isso:
Pronto! Escolhido o elemento de volume vamos integrar ele em relação a z e temos o nosso volume. Note que, quando a revolução a parte mais externa é uma circunferência de área . Sendo que se multiplicarmos pela largura dz teremos o volume.
Para facilitar os cálculos tomaremos:
Agora precisamos encontrar a que descreve a curva, assim podemos achar também os limites de integração. Se substituirmos os valores iniciais e final da curva, na função que a questão nos dá teremos:
Dessa maneira o limite é dado de 0 a .
Passo 3
Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira o volume é dado por:
Agora basta resolvermos essa integral que teremos o volume, sendo assim:
Passo 4
Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada z, vamos resolver a integral:
Depois é só dividir pelo volume que teremos o ponto. Portanto:
Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de integrais em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:
Como , temos