Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 13
13. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine:
(a) as tensões principais e
(b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.
Passo 1
Da figura do enunciado, que mostra um estado plano de tensão, tiramos que:
, com valor positivo, por ser uma tensão normal de tração na horizontal.
, com valor negativo, por ser uma tensão normal de compressão na vertical.
, com valor positivo, uma vez que as setas de tensão cisalhante estão apontando para o primeiro e terceiro quadrantes.
Passo 2
(a) Agora, dado que temos os valores de , e , vamos encontrar as tensões principais como pede o enunciado:
Sabemos que a fórmula das tensões principais tem a seguinte cara:
Bora, então, substituir os valores numéricos de cada variável, como já foi descrito no :
Calma que ainda não terminou! Se repararmos bem tem um ali, no nosso último cálculo . Isso significa que um resultado vai ter valor máximo e outro vai ter valor mínimo. Concluímos então, que vamos obter duas tensões, uma máxima e outra mínima .
Agora, vamos tratar de encontrar o ângulo , em que nosso elemento vai estar orientado no plano. Sabe-se que a fórmula dele, é dada por:
Bem! Já conhecemos o valor de , e . Só falta substituí-los na fórmula do nosso ângulo:
Esse é o ângulo responsável pela tensão principal máxima , como pode-se ver na imagem abaixo:
Mas e o outro ângulo, responsável pela tensão principal mínima ?
Aí, é so lembrar que os dois ângulos estão relacionado por . Basta então, subtrair , que é positivo, de , para obter o valor de :
Esse é o ângulo responsável pela tensão principal mínima .
Passo 3
(b) Esse letra é meio curiosa, porque meio sem querer, já resolvemos ela praticamente inteira na letra (a). Quer ver só?
A fórmula da tensão de cisalhamento máximo no plano, é dada pela letra e igual a:
Viu só, fizemos esse cálculo na letra (a) e a resposta foi, trocando os valores numéricos adequados, igual a:
E a tensão normal média? Também já resolvemos ela na letra (a). Se não acredita, veja só!
A fórmula da tensão normal média ,é igual a:
Agora só falta, encontrar o ângulo de cisalhamento no plano. Sabemos que ele tem a seguinte cara:
Se fossemos representar esse ângulo de cisalhamento em um plano, juntamente com a tensão cisalhante máxima e a tensão normal média iríamos obter a seguinte imagem:
Para encontrar o nosso outro ângulo de cisalhamento , basta somar , que é negativo, com .
Resposta
(a)
(b)