Enunciado

29. A viga tem seção transversal retangular e está sujeita às cargas mostradas. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A e no ponto B. Esses pontos estão imediatamente à esquerda da carga de 10   k N . Mostre os resultados em elementos adequadamente orientados localizados nesses pontos

Passo 1

A primeira coisa a fazer, é montar os diagramas de corpo livre da viga:

E realizar o somatório de momentos em relação ao pino e forças horizontais e verticais, para descobrir nossas forças atuantes:

↶ + ∑ M = 0

10   k N × 0,6   m - 1,2   m × F R = 0  

F R = 5   k N ⋅ m

→ + ∑ F x = 0

R x - 5   k N = 0  

R x = 5   k N

↑ + ∑ F y = 0

R y - 10   k N + 5   k N = 0  

R y = 5   k N

Agora, vamos tratar de fazer o diagrama de esforço cortante e momento fletor:

Em seguida, é só realizar a análise dos esforços cortantes e momento fletor nos nossos cálculos

↶ + ∑ M = 0

M - 5   k N × 0,6   m = 0  

M = 3   k N ⋅ m

→ + ∑ F x = 0

5   k N - N = 0  

N = 5   k N

↑ + ∑ F y = 0

5   k N - V = 0  

V = 5   k N

Passo 2

Como nossos cálculos anteriores de certa formas eram comuns aos dois pontos do enunciado, iremos dividir a questão, resolvendo primeiro o que foi pedido para o ponto A e depois para o ponto B .

Vamos então fazer o cálculo da tensão no ponto A , lembrando que a fórmula do momento de inércia de um retângulo é 1 12 ( b h 3 ) , onde b é o tamanho da parede paralela ao eixo e h é o tamanho da parede perpendicular ao eixo:

σ A = - N A - M y A I

σ A = - 5 × 10 3   N ( 0,375   m ) ( 0,15   m ) - 3 × 10 3   N ⋅ m 0,1875   m 1 12 ( 0,15   m ) ( 0,375   m ) 3

σ A = - 0,942   M P a   ( C o m p r e s s ã o )

E agora calculemos a tensão máxima de cisalhamento no ponto A :

τ A = V Q A I t

Como Q A = 0 :

τ A = 0   M P a

Passo 3

Com isso, calcularemos, então, as tensões principais no ponto A :

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ 1,2 = - ( 0,942   M P a ) 2 ± ( - 0,942   M P a ) 2 2 + ( 0   M P a ) 2

σ 1,2 ≅ - 0,471   M P a ± 0,471   M P a

Essa fórmula nos fornece duas tensões, uma máxima σ 1 e uma mínima σ 2 :

σ 1 = σ y ≅ 0   M P a

σ 2 = σ x ≅ - 0,942   M P a

Passo 4

Seguindo em frente, vamos calcular a tensão de cisalhamento máxima no plano τ m á x , pela fórmula abaixo:

τ m á x = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

τ m á x = ( - 0,942   M P a ) - ( 0   M P a ) 2 2 + ( 0   M P a ) 2

τ m á x ≅ 0,471   M P a

Passo 5

E neste passo, bora encontrar o ângulo θ s em que o elemento será rotacionado:

t g 2 θ s = - σ x - σ y 2 τ x y

t g 2 θ s = - ( - 0,942   M P a ) - ( 0   M P a ) 2 ( 0   M P a )

t g 2 θ s = ∞

E devemos calcular o arco tangente do valor encontrado:

tg - 1 ⁡ 2 θ s = ∞

θ s = θ s , 1 = 45 °

Esse ângulo é o quanto um dos eixos está deslocado. Para achar o outro, devemos somar noventa graus com o primeiro ângulo que obtivemos

θ s , 2 = 45 ° + 90 ° = 135 °

Passo 6

Por fim, calcularemos a tensão média σ m é d :

σ m é d = σ x + σ y 2

σ m é d = ( - 0,942   M P a ) + ( 0   M P a ) 2

σ m é d ≅ - 0,471   M P a

Passo 7

Aqui, repetiremos todos os passos anteriores para o ponto B .

Primeiro, o cálculo da tensão no ponto B :

σ B = - N A + M y B I

σ B = - 5 × 10 3   N 0,375   m 0,15   m + 3 × 10 3   N ⋅ m 0,1875   m 1 12 ( 0,15   m ) ( 0,375 m ) 3

σ B ≅ 0,764   M P a   ( T r a ç ã o )

Segundo, o cálculo da tensão máxima de cisalhamento no ponto B :

τ B = V Q B I t

Como Q B = 0 :

τ B = 0   M P a

Passo 8

Terceiro, o cálculo das tensões normais de superfície pela fórmula:

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ 1,2 = ( 0,764   M P a ) + ( 0   M P a ) 2 ± ( 0,764   M P a ) - ( 0   M P a ) 2 2 + ( 0   M P a ) 2

σ 1,2 ≅ 0,382   M P a ± 0,382   M P a

Onde novamente obtemos duas tensões, uma máxima σ 1 e uma mínima σ 2 :

σ 1 = σ x ≅ 0,764   M P a

σ 2 = σ y ≅ 0   M P a

Passo 9

Quarto, o cálculo da tensão de cisalhamento máxima no plano τ m á x :

τ m á x = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

τ m á x = ( 0,764   M P a ) - ( 0   M P a ) 2 2 + ( 0   M P a ) 2

τ m á x ≅ 0,382   M P a

Passo 10

E quinto, encontrar o ângulo θ s que o elemento será rotacionado:

t g 2 θ s = - σ x - σ y 2 τ x y

t g 2 θ s = - ( 0,764   M P a ) - ( 0   M P a ) 2 ( 0   M P a )

t g 2 θ s = - ∞

E devemos calcular o arco tangente do valor encontrado:

tg - 1 ⁡ 2 θ s = - ∞

θ s = θ s , 1 = - 45 °

Esse ângulo é o quanto um dos eixos está deslocado. Para achar o outro, devemos somar noventa graus com o nosso primeiro ângulo:

θ s , 2 = - 45 ° + 90 ° = 45 °

Passo 11

E por último, o cálculo da tensão média σ m é d :

σ m é d = σ x + σ y 2

σ m é d ≅ ( 0,764   M P a ) + ( 0   M P a ) 2

σ m é d ≅ 0,382   M P a

Ufa! Acabou!

Resposta

Tensões principais no ponto A :

σ 1 ≅ 0   M P a

σ 2 ≅ - 0,942   M P a

Tensão de cisalhamento máxima no ponto A :

τ m á x ≅ - 0,471   M P a

Tensões principais no ponto B :

σ 1 ≅ 0,764   M P a

σ 2 ≅ 0   M P a

Tensão de cisalhamento máxima no ponto B :

τ m á x ≅ 0,382   M P a

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