143- O tipo de guindaste marítimo mostrado é usado tanto para operações nas docas quanto embarcado. Determine a força no elemento B C , faça seu gráfico em função do ângulo θ do mastro para 0 ≤ θ ≤ 80 e calcule o valor dessa força para θ = 40 . Despreze o raio de todas as polias e o peso do mastro.

Passo 1

Para resolver esse exercício precisamos ir decompondo a força exercida pela caixa até chegar no elemento que queremos chegar. Literalmente ir decompondo a força da direita para esquerda. Redesenhando esse desenho com as forças no cabo de tração do guindaste nós teremos:

Para sermos capazes de encontrar a força T do cabo da figura acima nós precisamos encontrar o valor de β em função de T , rebater as forças e fazer a somatória dos momentos em D .

O valor de β é a tangente formada pelos comprimentos:

Cateto oposto: 32 sin ⁡ θ - 12

Cateto adjacente: x + 12 + 32 c o s θ

Onde x é a metade da base do triângulo isósceles A C B .

12 x = t g   60 → x = 6.93   m

Logo o valor de β será:

β = t g - 1 32 sin ⁡ θ - 12 6.93 + 12 + 32 cos ⁡ θ = t g - 1 32 sin ⁡ θ - 12 32 cos ⁡ θ + 18.93

Passo 2

Agora que β está em função de θ nós podemos calcular os momentos em relação a T , para podemos encontrar a força T que nos levará ao seu suporte.

Onde o peso da caixa P é calculado por:

P = 10 × 10 3 × 9.81 = 98100   N

A melhor ideia é rebater o guindaste em x e y assim como a força T em x e y de modo que temos a figura abaixo equivalente a desse guindaste.

Logo o valor de T ao fazer a somatória dos momentos em D ser nula nos dá:

T s i n   β × 32 cos ⁡ θ + 98100 × 45 cos ⁡ θ - T c o s   β × 32 sin ⁡ θ = 0

T ( 32 sin ⁡ β cos ⁡ θ - 32 cos ⁡ β sin ⁡ θ ) = - 98100 × 45 cos ⁡ θ

T = 137953.16 cos ⁡ θ cos ⁡ β s i n θ - s i n β c o s θ

Onde deixamos o valor de T positivo de modo a considerar que a sua reação também irá sair do nó.

Passo 3

Agora essa força é transmitida para a polia. De modo que temos o seguinte sistema de forças.

Já que a força de tração é dividida ente dois cabos igualmente e transmitida para o pino C que possui as duas reações.

Logo fazendo a somatória na vertical nós teremos:

C y + T 2 sin ⁡ β + T 2 sin ⁡ β - T 2 cos ⁡ 30 = 0

Logo:

C y = T 2 cos ⁡ 30 - T s i n   β

Agora a somatória das forças na horizontal nos dá:

- C x + T 2 cos ⁡ β + T 2 cos ⁡ β - T 2 sin ⁡ 30 = 0

O que dá:

C x = T c o s   β - T 2 sin ⁡ 30

Passo 4

Agora finalmente seremos capazes de descobrir a força na barra B C ao utilizar as forças no pino C para as duas barras de suporte que vem logo abaixo ao analisar justamente a somatória no pino C .

Para o sistema ficar estático devemos considerar que as reações em C seja contrárias ao do sistema anterior.

Logo fazendo a somatória das forças horizontais temos:

C x + F A C cos ⁡ 60 = F B C cos ⁡ 60

E a somatória das forças verticais nos dá:

F A C sin ⁡ 60 + F B C sin ⁡ 60 = C y

Se arrumarmos a primeira equação teremos:

F A C - F B C = - C x cos ⁡ 60

Trocando o sinal:

F B C - F A C = C x cos ⁡ 60

E arrumando a segunda equação.

F A C + F B C = C y sin ⁡ 60

Somando essas duas equações encontraremos a força na barra B C :

2 F B C = C x cos ⁡ 60 + C y sin ⁡ 60

F B C = C x + 0.577 C y

Agora todos os elementos estão conectados matematicamente, sendo possível plotar o gráfico.

Resposta

Gráfico:

Medida de y em k N .

Link pro gráfico: https://www.desmos.com/calculator/gjcl7n1gnh

Para θ = 40 , F A B = 190.435   k N

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