Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 30
14.30. Mostre que a relação , onde H’A é definido pela Eq. (1) do Problema 14.29 e representa a soma dos momentos em relação a A das forças externas que atuam sobre o sistema de partículas, é válida se, e somente se, uma das seguintes condições for satisfeita: (a) o sistema de referência Ax’y’z’ é, ele próprio, um sistema newtoniano de referência, (b) A coincide com o centro de massa G e (c) a aceleração de A relativa a Oxyz está dirigida ao longo da linha AG.
Passo 1
No problema 14.29 temos a equação:
(1)
Mas podemos escrever:
Porque é uma posição relativa, então
Podemos escrever também:
Logo
Agora vamos derivar essa equação em relação ao tempo para chegar em
Para fazer essa derivada basta usar a regra do produto.
Passo 2
Temos uma posição relativa também:
Chegamos em um valor para , mas temos coisas para mudar na nossa equação. A gente pode aplicar alguns conceitos de cinemática aqui:
Então a equação fica:
Bom, , o que significa que
Logo
Passo 3
Pela segunda lei de Newton temos
Então se aplicarmos a distributiva para ficamos com
Isso aqui pode ser reescrito assim:
Mas
Então
Se aplicarmos o somatório
Isso implica que , se, e somente se
O item (a) assume um sistema Newtoniano, ou seja , então
Então isso é válido.
Agora o item (b). Nesse item assumimos que A coincide com o centro de massa G, isso significa , então
Isso também é verdade.
Finalmente para o item (c), assumimos que a aceleração é dirigida ao longo da linha , isso quer dizer que , então
Já que o produto vetorial entre dois vetores paralelos é sempre o vetor nulo. Logo isso é válido também.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)