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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 39

14.39 Em um jogo de bilhar, a bola A se desloca com uma velocidade v0 de intensidade v0 5 m/s quando ela atinge as bolas B e C, que se encontram em repouso e alinhadas como mostrado na figura. Sabendo que após a colisão as três bolas se movem nas direções indicadas e considerando as superfícies sem atrito e os choques perfeitamente elásticos (isto é, conservação de energia), determine as intensidades das velocidades vA, vB e vC.

Passo 1

Primeiramente vamos escrever todas as velocidades como vetores:

v 0 → = v 0 ( cos ⁡ 45 °   i ^ + sin ⁡ 45 °   j ^ )  

v A → = v A   j ^ v B → = v B ( sin ⁡ 30 °   i ^ - cos ⁡ 30 °   j ^ ) v C → = v C ( cos ⁡ 30 °   i ^ + sin ⁡ 30 °   j ^ )

Agora vamos usar conservação de momento

m v 0 = m v A + m v B + m v C

Podemos cortar a massa

v 0 = v A + v B + v C

Vamos escrever a conservação de momento para cada componente. Para a componente i ^ temos:

v 0 cos ⁡ 45 ° = v B sin ⁡ 30 ° + v C cos ⁡ 30 °

0,71 v 0 = 0,5 v B + 0,87 v C

E para a componente j ^ temos:

v 0 sin ⁡ 45 ° = v A - v B cos ⁡ 30 ° + v C sin ⁡ 30 °

0,71 v 0 = v A - 0,87 v B + 0,5 v C

Passo 2

Vamos usar essas equações para descobrir os valores de v B e v C em termos de v A e v 0

0,71 v 0 = 0,5 v B + 0,87 v C

Vamos resolver primeiro para v B

v B = 0,71 v 0 - 0,87 v C 0,5 = 1,42   v 0 - 1,74   v C

Agora substituímos isso em

0,71 v 0 = v A - 0,87 v B + 0,5 v C

0,71 v 0 = v A - 0,87 1,42   v 0 - 1,74   v C + 0,5 v C

0,71 v 0 = v A - 1,2 v 0 + 1,5 v C + 0,5 v C

Então ficamos com

2 v C = v A - 1,91 v 0

v C = 0,5 v A - 0,96   v 0  

Agora substituímos esse resultado em

v B = 1,42   v 0 - 1,74   v C

v B = 1,42   v 0 - 1,74   0,5 v A - 0,96   v C  

v B = 0,87   v A - 0,26   v 0

Passo 3

Agora vamos usar conservação de energia

1 2 m v 0 2 = 1 2 m v A 2 + m v B 2 + m v C 2

Podemos cortar m 2

v 0 2 = v A 2 + v B 2 + v C 2

Agora vamos substituir os valores de v C e v B

v 0 2 = v A 2 + 0,87   v A - 0,26   v 0 2 + 0,5 v A - 0,96   v 0 2

Isso aqui vai dar

v 0 2 = v A 2 + 0,76 v A 2 + 0,06 v 0 2 - 0,45 v A v 0 + 0,25 v A 2 + 0,92 v C 2 - 0,96 v A v 0

Agora podemos resolver para v A

2 v A 2 - 1,41 v 0 v A + v 0 2 = 0

v A = 0,7 08 v 0

v A = 0,7 08 ( 5 ) = 3,5 m s

Consequentemente

v B = 0,87   v A - 0,26   v 0

v B = 0,87   3,5 4 - 0,26   5 = 1,7 7 m s

E´

v C = 0,5 3,5 4 - 0,96   5 = - 3,06 m s  

Mas como o exercício pede só a intensidade podemos considerar o módulo apenas

v C = 3,06 m s  

Resposta

v A = 3,54 m s v B = 1,77 m s v C = 3,06 m s

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