Enunciado

14.32. Determine a energia perdida devido ao resultado da série de colisões descritas no Problema 14.7.

Passo 1

A série de colisões descritas no problema 14.7 é a seguinte: Considere 3 carros de bate-bate A, B e C, todos com a mesma massa, mas os pilotos tem massas diferentes, e cada carro possui uma velocidade diferente.

m A = 240   k g ; v A = 2 m s m B = 260   k g ; v B = 0 m C = 235   k g ; v C = - 1,5 m s

Considerando o sentido positivo para a direita.

As colisões são:

(a) o carro A e o carro C atingem o carro B ao mesmo tempo;

(b) o carro A atinge o carro B antes do carro C atingir o carro B.

Passo 2

Vamos iniciar com a colisão (a). O sistema que estamos considerando é o sistema que abrange os três carros e seus pilotos, então a energia inicial do sistema é a seguinte:

T i = ∑ 1 2 m v i 2

Então

T i = 1 2 m A v A i 2 + m B v B i 2 + m C v C i 2

Substituindo os valores

T i = 1 2 240 ⋅ 2 2 + 260 ⋅ 0 + 235 ⋅ - 1,5 2 = 744,375   J

Passo 3

Depois do impacto os carros adquiriram as seguintes velocidades:

v A f = - 1,288 m s v B f = 0,312 m s v C f = 1,512 m s

Esses resultados foram obtidos no problema 14.7, só voltar lá e dar uma olhadinha caso você queira lembrar como chegar até aqui.

Agora vamos usar essas velocidades para calcular a energia final do sistema:

T f = ∑ 1 2 m v f 2

T f = 1 2 m A v A f 2 + m B v B f 2 + m C v C f 2

T f = 1 2 240 ⋅ - 1,288 2 + 260 ⋅ 0,312 2 + 235 ⋅ 1,512 2 = 480,35   J  

Passo 4

Agora que temos a energia final e a inicial, podemos facialmente calcular a energia perdida

E p e r d i d a = T i - T f

E p e r d i d a = 744,375 - 480,35 = 264,025 ≈ 264   J

Passo 5

Agora vamos para o item (b). Para este caso vamos separar o processo em dois momentos, o momento (I) é quando o carro A atinge o carro B, e o momento (II) é quando o carro C atinge o carro B.

No inicio do momento I e energia é a mesma energia inicial que calculamos para o item (a), veja, são as mesmas massas e as mesmas velocidades, então

T i I = 744,375   J

Após a colisão podemos usar conservação de momento para determinar as velocidades dos carros A e B.

v A f I = - 0,956 m s v B f I = 1,544 m s

E como o carro C não colidiu com nada sua velocidade se mantem a mesma:

v C f I = - 1,5 m s

Esses resultados são do problema 14.7.

Então a energia final desse momento fica o seguinte

T f I = ∑ 1 2 m v f I 2

T f I = 1 2 m A v A f I 2 + m B v B f I 2 + m C v C f I 2

T f I = 1 2 240 ⋅ - 0,956 2 + 260 ⋅ 1,544 2 + 235 ⋅ - 1,5 2 = 683,959   J

Passo 6

Agora precisamos da energia final do momento II. A energia inicial do momento II é a mesma energia final do momento I.

T i I I = 683,959   J

Após a colisão podemos usar conservação de momento para determinar as velocidades dos carros B e C.

v B f I I = - 0,0296 m s v C f I I = 1,552 m s

E como o carro A não colidiu nesse momento sua velocidade se mantem a mesma:

v A f I I = - 0,956   m s

Esses resultados são do problema 14.7.

Então a energia final desse momento fica o seguinte

T f I I = ∑ 1 2 m v f I I 2

T f I I = 1 2 m A v A f I I 2 + m B v B f I I 2 + m C v C f I I 2

T f I I = 1 2 240 ⋅ - 0,956 2 + 260 ⋅ - 0,0296 2 + 235 ⋅ 1,552 = 392,8   J

E essa é também a energia final de todo processo, então podemos calcular a perda de energia sendo a energia inicial de todo processo menos a energia final de todo processo, logo

E p e r d i d a = 744,375 - 392,8 = 351,575 ≈ 352   J

Resposta

a = 264   J b = 352   J

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