144- A lança O A do grande guindaste a beira mar pode girar em torno do elemento vertical O B . Determine as forças nos elementos B C e B D e faça seus gráficos em função do ângulo θ     - 90 ≤ θ ≤ 90 . A massa da carga é de 3   M g . O ângulo de elevação de 45 da lança permanece constante; os cabos para controle do ângulo de elevação da lança foram omitidos para maior clareza.

Passo 1

O diagrama de forças desse guindaste pode ser desenhado da seguinte forma.

Passo 2

Para resolver esse exercício precisamos resolver a somatória das forças no eixo x e a somatória das forças em y . Para isso precisamos encontrar a direção do vetor B D e B C .

Para isso precisamos descobrir a posição do ponto geométrica D e a posição geométrica do ponto C .

A distância da reta O C vale 20   m uma vez que o triângulo retângulo O B D é isósceles, assim como o triângulo O B C , e se espelharmos esses valores nos eixos x e y nós encontraremos os seguintes valores de pontos.

D = 10 2 , 10 2 , 0

C = 10 2 , - 10 2 , 0

Pois basta fazer o seno e o cosseno de 45 para encontrar esses valores nos eixos.

Agora podemos encontrar a direção dos vetores B D e B C .

Começando por B D .

B D - = 10 2 - 0 i + 10 2 - 0 j + 0 - 20 k 20 2 + 20 2 = 10 2 i + 10 2 j - 20 k 20 2

B D - = 0.5 i + 0.5 j - 0.707 k

Para B C a única diferença é que y encontra-se com y negativo (refletido). Isso nos dará uma direção de vetor B C igual a:

B C - = 0.5 i - 0.5 j - 0.707 k

Passo 3

Agora podemos fazer a somatória das forças. Fazendo a de x bastar multiplicar a direção de x do vetor que encontramos e multiplicar com a intensidade da força da seguinte forma:

∑ F x = 0

- m g cos ⁡ θ + T B D × 0.5 + T B C × 0.5 = 0

T B D + T B C = m g cos ⁡ θ 0.5 = 2 m g cos ⁡ θ

Agora a somatória das forças em y :

∑ F y = 0

- m g sin ⁡ θ + T B D × 0.5 + T B C × - 0.5 = 0

T B D - T B C = 2 m g sin ⁡ θ

Somando as duas equações encontraremos:

2 T B D = 2 m g ( sin ⁡ θ + cos ⁡ θ ) → T B D = m g ( sin ⁡ θ + c o s θ )  

Se diminuirmos as duas equações encontraremos:

2 T B C = 2 m g ( cos ⁡ θ - sin ⁡ θ ) → T B C = m g ( cos ⁡ θ - sin ⁡ θ )

Como a massa é de 3000   k g temos:

T B D = 29430 ( sin ⁡ θ + cos ⁡ θ )

T B C = 29430 ( cos ⁡ θ - sin ⁡ θ )

Passo 4

Plotando as duas forças no intervalo de θ indo de - 90 ° a 90 ° temos o seguinte comportamento:

Valores em k N

A curva azul equivale a T B C e a vermelha a T B D .

Resposta

T B D m a x = 41.61   k N   e m   45 °  

T B C m a x = 41.61   k N   e m - 45 °  

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