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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas Revisão - Ex. 146

146. A viga caixão é mostrada é feita de quatro pranchas firmemente coladas. Sabendo-se que na junta colada a tensão admissível de cisalhamento é de 830   k P a , determinar: (a) a maior força cortante vertical permissível na viga; (b) a correspondente tensão de cisalhamento máximo na viga

Passo 1

E aí meus queridos! Aqui vamos nós de novo, continuar nossa saga em Resistência dos Materiais

E a missão dessa vez, está envolvendo um assunto bem complicadinho hein!?

Isso mesmo, temos uma questão de carregamento transversal pra resolver... De cisalhamento, indo direto ao ponto!

Se liga só! Para resolvermos essa questão, precisamos analisar cada elemento da nossa fórmula a fim de descobrir em que ponto estará a nossa incógnita.

Então, bora seguir em frente! A nossa fórmula para o cisalhamento, mencionada acima, é dada por...

τ = Q V I t

Isolemos o V ...

V = τ I t Q

Por essa relação, sabemos que...

τ = t e n s ã o   c i s a l h a n t e

V = e s f o r ç o   c o r t a n t e

Q = m o m e n t o   e s t á t i c o

I = m o m e n t o   d e   i n é r c i a

t = e s p e s s u r a   d o   p o n t o   q u e   c a l c u l a m o s   o   c i s a l h a n t e

Agora que já sabemos o que cada termo da fórmula significa, vamos identificar cada um desses valores na nossa seção.

Passo 2

Para isso, precisamos determinar primeiramente a linha neutra na nossa seção. A linha neutra de uma seção retangular uniforme seja ela cheia ou com uma região vazia, sempre fica no centro da nossa seção.

a) Como o que queremos inicialmente, é saber a força cortante máxima que devemos aplicar, considerando a junta entre as tábuas; então bora redesenhar nossa viga...

Repara na nossa bela imagem...

Que belezinha, né não!?

Pois muito bem! Vamos começar calculando o momento de inércia da nossa seção transversal. Ele é dado pela diferença entre o momento de inércia do retângulo cheio menos o momento de inércia do retângulo vazio.

Se tá ruim de entender, talvez a imagem abaixo ajude...

Sendo que pela figura, identificamos que o retângulo vazio tem as seguintes dimensões abaixo...

A l t u r a   h 2 = 75   m m - 2 ⋅ 15   m m = 45   m m

C o m p r i m e n t o   b 2 = 110   m m

Já o retângulo cheio...

A l t u r a   h 1 = 75   m m

C o m p r i m e n t o   b 1 = 150   m m

Desse modo, nosso momento de inércia será igual à...

I = 1 12 b 1 h 1 3 - 1 12 b 2 h 2 3

I = 1 12 ( 150   m m ) ( 75   m m ) 3 - 1 12 ( 110   m m ) ( 45   m m ) 3

I = 4438125   m m 3 = 4,43813 ⋅ 10 - 6   m ³

Passo 3

Voltando nossa atenções de novo pra primeira imagem do P a s s o   2 ; nela podemos ver um ponto preto que chamamos de a . Ele está na junta de ligação entre as tábuas.

Esse ponto será fundamental para obtermos o esforço cortante máximo na junta...

Pra ficar mais legal ainda... Bora fazer um esboço considerando só a parte da reta delimitada pelo ponto a pra cima. Fazendo isso, obtemos a região destacada de vermelho abaixo com a linha do seu centro de massa já à mostra e a uma distância y - da linha neutra...

Onde para o ponto a , temos a seguinte espessura...

t = 15   m m + 15   m m

t = 30   m m = 0,03   m

Isso aí garotinho(a)! Estamos indo bem!

Veja bem! O centro de massa do retângulo vermelho está a uma distância y - da nossa linha neutra, igual a:

y - = 37,5   m m - 15   m m 2

y - = 30   c m

Logo, fica fácil obter o nosso momento estático! Ele é dado pelo produto da área do retângulo vermelho pela distância y - ...

Q = A y -

Q = 110   m m 15   m m ( 30   m m )

Q = 49500   m m 3 = 4,95 ⋅ 10 - 5   m 3

E então, o nosso esforço cortante máximo, (pegando a fórmula do P a s s o   1 ) será igual a...

V m á x = τ I t Q

V m á x = 830   k P a ( 4,43813 ⋅ 10 - 6   m ³ ) ( 0,03   m ) 4,95 ⋅ 10 - 5   m 3

V m á x = 2232,51   N

Bora guardar ele, hein!? Vamos precisar pra letra (b)

Passo 4

b) No segundo item, o objetivo é encontrar a correspondente tensão de cisalhamento máximo na viga.

Ora bolas! O ponto onde há maior cisalhamento na nossa peça é o ponto sobre a linha neutra.

Sendo assim, assim como na letra (a), bora fazer um esboço considerando só da parte da linha neutra pra cima.

De modo que obtemos a seguinte imagem abaixo...

Fazendo o mesmo procedimento da letra (a), e tomando dessa vez o ponto b como nosso ponto de análise, a nossa espessura t correspondente é de...

t = 20   m m + 20   m m

t = 40   m m

O momento de inércia por sua vez, continua o mesmo e igual à...

I = 4,43813 ⋅ 10 - 6   m ³

Já em relação ao momento estático Q , as coisas vão ser um pouco diferentes... Já que nossa área aumentou, hein!?

Porque além daquele retângulo anterior, temos dois outros retângulos para incluir em nossos cálculos...

E como podemos ver na nossa imagem acima, esses dois retângulos tem as mesmas dimensões. Logo, têm a mesma área.

Assim, levando em consideração essas última figura desenhada, o nosso momento estático será dado pela seguinte fórmula abaixo...

Q = A 1 y - 1 + 2 A 2 y - 2

E substituindo os valores numéricos podemos obter o quanto vale Q ...

Q = A 1 y - 1 + 2 A 2 y - 2

Q = 110   m m 15   m m ( 30   m m ) + 2 37,5   m m 20   m m ( 18,75   m m )

Q = 77625   m m = 7,7625 ⋅ 10 - 5   m 3

Feito isso! Basta pegar a fórmula da tensão cisalhante e trocar as variáveis pelos valores obtidos. Só lembrando que o V aqui, é o que descobrimos anteriormente, hein!?

τ m á x = Q V I t

τ m á x = ( 7,7625 ⋅ 10 - 5   m ) ( 2232,51   N ) ( 4,43813 ⋅ 10 - 6   m ³ ) ( 0,04   m )

τ m á x = 976193,182   P a ≅ 976,2   k P a

E pronto! Finalizamos aqui!

Até a próxima!

Rumo a aprovação!

Resposta

a) V m á x = 2182,9   N

b) τ m á x ≅ 976,2   k P a  

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Determinar a localização do centro de cisalhamento O da viga de parede fina com espessura uniforme, da seção transversal mostrada.
Determinar a localização do centro de cisalhamento O da viga de parede fina com a seção transversal mostrada.
Resolver o Prob. 5.122, considerando que a espessura da viga em balanço de parede fina é reduzida para 6,35m m .
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