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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 48

15.49. No sistema de engrenagens planetárias mostrado na figura, o raio da engrenagem central A é a, o raio das engrenagens planetárias é b e o raio da engrenagem externa E é a +-2b. A velocidade angular da engrenagem A é A no sentido horário e a engrenagem externa é estacionária. Se a velocidade angular do suporte BCD deve ser A/5 no sentido horário, determine (a) o valor requerido da razão b/a, (b) a velocidade angular correspondente de cada engrenagem planetária.

Passo 1

Vamos começar mais outra.

A situação que a gente tem é parecida com esse desenho:

Nós podemos fazer o seguinte:

v A = a ⋅ ω A

E a velocidade do suporte é

v S = a + b ω S

Mas a velocidade do suporte também é a velocidade que o centro das engrenagens B,C e D estão girando em relação ao centro.

v B ' = v S

E sabemos que

v B ' = v A + v B

Então

a + b ω S = v A + v B

Ou ainda

a + b ω S = a ω A + b ω B

E também podemos fazer

v E = a + 2 b ω E

Mas existe outro jeito para calcularmos v E :

v E = v B ' + v B

Então

v B ' + v B = a + 2 b ω E

Ou

a + b ω S + b ω B = a + 2 b ω E

Passo 2

Se somarmos

a + b ω S = a ω A + b ω B

E

a + b ω S + b ω B = a + 2 b ω E

Ficamos com

2 a + b ω S = a ω A + a + 2 b ω E

Então

ω S = a ω A + a + 2 b ω E 2 a + b

Mas do enunciado sabemos que

ω E = 0

E

ω S = 1 5 ω A

Então

1 5 ω A = a ω A 2 a + b

Podemos cortar ω A

1 5 = a 2 a + b

E isso aqui fica

2 5 a + b = a  

a + b = 5 2 a

Podemos dividir tudo por a

1 + b a = 5 2

Então

b a = 5 2 - 1 = 3 2

Passo 3

Agora vamos para o item (b). Vamos novamente usar as equações:

a + b ω S = a ω A + b ω B

E

a + b ω S + b ω B = a + 2 b ω E

Mas agora vamos subtrai-las

2 b ω B = a + 2 b ω E - a ω A

Então

ω B = a + 2 b ω E - a ω A 2 b

Usando

ω E = 0

Temos

ω B = - a ω A 2 b

Isso é

ω B = - a b ω A 2  

Mas sabemos que

b a = 3 2

Então

a b = 2 3

Logo

ω B = - 2 3 ω A 2 = - ω A 3

Resposta

a : b a = 3 2

b : ω B = - ω A 3

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