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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 7ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 182

172- Um sinal de trânsito está suspenso por dois cabos de 21   m de comprimento, que têm uma massa de 1.2   k g por metro. Determine a deflexão vertical δ do anel de junção A relativamente a sua posição antes do sinal ser colocado.

Passo 1

O peso específico μ da corda é:

μ = 1.2 k g m × 9.81 = 11.772 N m

E o comprimento da corda C A e da corda A B vale 21   m .

Fazendo o diagrama de forças em A temos:

Onde consideramos um θ A formada nesse ponto (isso é, o ponto A não é origem de nenhuma equação de catenária) e uma tração A igual dos dois lados, fazendo a somatória das forças verticais temos:

2 T A sin ⁡ θ A = W

T A sin ⁡ θ A = W 2  

Onde vamos considerar apenas como W pois vamos analisar a deflexão dele mais tarde com W igual ao peso do sinal que é de 490.5   N e com W igual a zero. Pois a diferença entre as duas posições será o valor de δ . Ou a diferença relativa.

Passo 2

A equação de T A pode ser escrita como:

T A = T 0 + μ y A

E θ pode ser:

t g   θ = s i n h μ x T 0

θ A = t g - 1   ( sinh ⁡ μ x A T 0

Logo a equação será:

T 0 + μ y A t g - 1 sinh ⁡ μ x A T 0 = W 2 ( 1 )

Passo 3

Agora temos que pegar dois pontos de alguma catenária e colocar na equação, vamos pegar os pontos A   e B , em relação a A sabemos que B vale ( x a + 20 , y a + h ) onde h é a deflexão total desse cabo do jeito que está, além de saber que a distância da corda vale 21   m .

A equação da catenária em A vale:

y a = T 0 μ   cosh ⁡ μ x A T 0 - 1   ( 2 )

A equação da catenária em B vale:

y a + h = T o μ cosh ⁡ μ x a + 20 T o - 1   ( 3 )

Agora fazendo a diferença do ponto B até o ponto A temos:

s b - s a = T 0 μ sinh ⁡ μ x b T 0 - sinh ⁡ μ x a T 0 = T 0 μ sinh ⁡ μ x a + 20 T 0 - sinh ⁡ μ x a T 0 = 21

T 0 μ sinh ⁡ μ x a + 20 T 0 - sinh ⁡ μ x a T 0 = 21           ( 4 )

Passo 4

4 equações, quatro incógnitas. Dá para resolver mas é bem trabalhoso. O recomendado é fazer essa conta com uma ferramenta gráfica.

Se juntarmos a equação 2 em 1 temos:

T 0 1 + cosh ⁡ μ x A T 0 - 1 t g - 1 sinh ⁡ μ x A T 0 = W 2

Comparando agora com a 4 :

T 0 μ sinh ⁡ μ x a + 20 T 0 - sinh ⁡ μ x a T 0 = 21

Temos apenas duas incógnitas agora. Sabendo que μ = 11.772 .

Plotando o gráfico das duas funções nós encontramos

T 0 = 1162.35   N   ;     x a = 20.537       e m   W = 490.5

Logo os valores de y e h serão:

y = T 0 μ   cosh ⁡ μ x A T 0 - 1 = 2.14

h = T o μ cosh ⁡ μ x a + 20 T o - 1 - y = 6.295   m

Link: https://www.desmos.com/calculator/smrhui6kyv

Onde y = T 0 no gráfico ta?

Para W = 0   encontramos:

x a = 0   ; T 0 = 433.04   N

Link: https://www.desmos.com/calculator/cbhzztehai

Logo:

y = 0

h = 5.57   m

Logo a diferença entre as deflexões será o δ que queremos:

δ = 6.295 - 5.57 = 0.725   m

Resposta

δ = 0.725   m

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