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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 34

18.34. Resolva o Problema 18.33 considerando que a velocidade angular da sonda seja (0,060 rad /s)i (0,040 rad /s)k.

Passo 1

Beleza vamos para mais um problema! Olha só, o problema 18.33 da informações que ajudam a gente a calcular H → G rapidinho.

H → G = I x ω x   i ^ + I y ω y   j ^ + I z ω z   k ^

Isso fica

H → G = m k x 2 ω x   i ^ + k y 2 ω y + k z 2 ω z   k ^

A gente tem o valor de tudo nessa expressão, só substituir:

H → G = 2500 0,98 2 0,0 6 0   i ^ + 1,06 2 0 + 1,02 2 - 0,0 4 0   k ^

Fazendo essa continha

H → G = 144,06   i ^ - 104,04   k ^   k g ⋅ m 2 s

Viu como foi rapidinho? Mas calma, o problema não acabou ainda.

Passo 2

Vamos agora definir os propulsores do motor como:

A → = - A   j ^ B → = - B   j ^ C → = - C   j ^ D = - D j ^

Esses são os propulsores que tem o impulso de 20   N cada.

E → = E   j ^

Esse é o propulsor de 500   N .

Essa é a vista de cima da sonda.

A gente já pode calcular os valores de a e b .

a = 1,2 2 = 0,6   m

E

b = a + a 2 + a 2 = 0,6 ⋅ 0,6 2 = 1,4485   m

Sabe porque calculamos essas distâncias? Porque agora podemos escrever o vetor posição de cada propulsor.

r → A = - a   i ^ + b   k ^ r → B = a   i ^ + b   k ^ r → C = a   i ^ - b   k ^ r → D = - a   i ^ - b   k ^

Passo 3

Agora vamos usar o princípio do impulso-momento.

H → G + r → A × A → + r → B × B → + r → C × C → + r → D × D → = 0

Já que o momento angular final e o momento linear final são nulos.

Olha só, a gente já calculou todos os vetores dessa equação. Para não ficar desorganizado vamos resolver tudo parte por parte:

r → A × A → = - a   i ^ + b   k ^ × - A   j ^ = b A   i ^ + a A k ^

r → B × B → = a   i ^ + b   k ^ × - B   j ^ = b B i ^ - a B   k ^

r → C × C → = a   i ^ - b   k ^ × - C j ^ = - b C   i ^ - a C   k ^

r → D × D → = - a   i ^ - b   k ^ × - D   j ^ = - b D   i ^ + a D   k ^

Então

H → G + b A   i ^ + a A k ^ + b B i ^ - a B   k ^ + - b C   i ^ - a C   k ^ + - b D   i ^ + a D   = 0

Ou simplificando

b A + B - C - D i ^ + a A - B - C + D k ^ = - H → G

Agora a melhor estratégia para a gente seguir é resolver por componentes:

A + B - C - D = - H G x b

Então

A + B - C - D = - 144,06 1,4485 = - 99,455   N ⋅ s

E

A - B - C + D = - H G z a

Então

A - B - C + D = - - 104,04 0,6 = 173,4   N ⋅ s

Passo 4

Beleza agora finalmente a gente pode ir pro item (a).

Dois propulsores devem estar ligados e dois desligados, bom se a gente somar as equações temos:

2 A - C = 73,945

E se subtrairmos

2 B - D = 272,855

Então se A = 0 , obrigatoriamente o propulsor C tem que estar ligado, e se D = 0 o motor B tem que estar ligado, o porto é que os motores A e C não podem estar desligados ao mesmo tempo assim como os motores B e D .

Então podemos responder o item (a) dizendo para usar os motores A e D . Dessa forma só vamos ter valores positivos.

A = 73,945 2 = 36,9725   N

E

D = 272,855 2 = 136,43   N

Passo 5

Agora vamos para o item (b). Podemos usar essa equação:

F A Δ t A = A

Ou

Δ t A = A F A

Substituindo os valores

Δ t A = 36,9725 20 = 1,848   s

E para o motor D

Δ t D = D F D

Isso fica

Δ t D = 136,43 20 = 6,82   s

Passo 6

E estamos na última parte do problema. Bom, o momento linear final é nulo, então

E   j ^ - A   j ^ - D   j ^ = 0

Logo

E = A + D

Então

E = 136,43 + 36,97 = 173,4   N ⋅ s

Então podemos fazer

Δ t E = E F E = 173,4 500 = 0 , 347   s

E terminamos mais uma.

Resposta

a : A   e   D b : Δ t C = 1,848   s                 Δ t B = 6,82   s c : Δ t E = 0 , 347   s

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