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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 73

Um componente de chapa metálica mostrado na figura tem espessura homogênea e massa de 600 g. Ele está preso a um eixo leve suportado por mancais em A e B distantes em 150 mm. O componente está em repouso quando um binário M0 lhe é aplicado. Se a resultante da aceleração angular é α = (12 rad/s2)k, determine (a) o binário M0, (b) as reações dinâmicas em A e B imediatamente após a aplicação do binário.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine (a) o binário M0, (b) as reações dinâmicas em A e B imediatamente após a aplicação do binário

Os componentes da chapa metálica giram em torno do eixo z fixo, de modo que as Equações (18.29) do livro-texto se aplicam. Elas são listadas abaixo como equações (1), (2) e (3).

Σ M x = - I x z α + I y z ω 2

Σ M y = - I y z α - I x z ω 2

Σ M z = I z α

Passo 2

Cálculo do momento necessário e produtos de inércia.

Massa total:

m = 600   g = 0.6   kg

Área total:

A = 1 2 0.075 2 + 0.150 0.075 + 1 2 0.075 2 = 16.875 × 10 - 3   m 2

Seja ρ a massa por unidade de área.

ρ = m A = 35.556   kg/ m 2

O componente é composto por 3 partes: triângulo 1, triângulo 2 e retângulo 3, conforme mostrado. Deixe os comprimentos de 75 mm serem rotulados b.

Triângulo 1. A equação da borda superior é

y = b z - z

Passo 3

Use elementos de largura dz e altura y.

d m = ρ   y d z                 d I - z el = 1 12 y 2   d m

d I - x z el = 0                 d I - y z el = 0

Coordenadas do centro de massa do elemento:

x - el = - b ,                 y - el = 1 2 y ,                 z el = z

d I x z = d I - x z el + x - el z - el d m = 0 + - b z ρ y d = - ρ b z b z - z d z

I x z = - ρ b ∫ - b / 2 b / 2 z b z - z d z = 1 12 ρ b 4

d I y z = d I - y z el + x - el z - el d m = 0 + 1 2 y z ρ y d = 1 2 ρ b z - z 2 z d z

I y z = 1 2 ρ ∫ - b / 2 b / 2 b 2 - z 2 z d z = - 1 24 p b 4

d I z = d I - z el + x - el 2 + y - el 2 d m = 1 12 y 2 + b 2 + 1 4 y 2 ρ y d z = ρ b 2 y + 1 3 y 3 d z = 13 24 b 3 - 5 4 b 2 z + 1 2 b z 2 - 1 3 z 3 d z

I z = ρ ∫ - b / 2 b / 2 13 24 b 3 - 3 4 b 2 z + 1 2 b z 2 - 1 3 z 3 d z = 7 12 p b 4

Passo 4

Aplicando os dados,

I x z = 1 12 35.556 0.075 2 = 93.75 × 10 - 6   kg ∙ m 2

I y z = - 1 24 35.556 0.075 4 = - 46.875 × 10 - 6   kg ∙ m 2

I z = 7 12 35.556 0.075 4 = 656.25 × 10 - 6   kg ∙ m 2

Triângulo 2. A equação da borda inferior é y = - b z - z .

Use elementos de largura dz e altura - y.

d m = - ρ y d z ,                 d I - z el = 1 12 y 2   d m ,                 d I - z x el = 0 ,                 d I - y z el = 0

Coordenadas do centro de massa do elemento:

x - el = b ,                 y - el = 1 2 y ,                 z - el = z

Passo 5

As integrais para Ixz, Iyz e Iz acabam sendo as mesmas do triângulo 1.

I x z = 93.75 × 10 - 6   kg ∙ m 2 ,                 I y z = - 46.875 × 10 - 6   kg ∙ m 2 ,                 I z = 656.25 × 10 - 6   kg ∙ m 2

Retângulo 3.

Área:

A = 0.150 0.075 = 11.25 × 10 - 3   m 2

Massa:

m = ρ A = 400 × 10 - 3   kg

I x z = 0 ,                 I y z = 0

I z = 1 12 m 2 b 2 = 1 12 400 × 10 - 3 0.150 2 = 750 × 10 - 6   kg ∙ m 2

Totais.

I x z = Σ l x z = 187.5 × 10 - 6   kg ∙ m 2

I y z = Σ l x z = - 93.75 × 10 - 6   kg ∙ m 2

I z = Σ l z = 2062.5 × 10 - 6   kg ∙ m 2

Passo 6

Como o centro de massa está no eixo fixo, a aceleração a - do centro de massa é zero.

Σ F = m a - = 0

As reações em A e B formam um par.

B = - A

Seja

A = A x i + A y j

Casal resultante atuando sobre o corpo:

M = c k × A x i + A y j + M 0 k

= - c A y i + c A x j + M 0 k

Passo 7

  1. Momento M0. Usando a Equação (3),

    2. Σ M z = M 0 = I z α = 2062.5 × 10 - 6 12

    Passo 8

  2. Reações em A e B para o caso ω = 0.

Σ M x = - c A y = - I x z α - I y z ω 2 = - I x z α

A y = I x z α c = 187.5 × 10 - 6 12 0.150 = 15 × 10 - 3   N

Σ M y = c A x = - I y z α - I x z ω 2 = - I y z α

A x = - I y z α c = - - 93.75 × 10 - 6 12 0.150 = 7.5 × 10 - 3   N

Resposta

a )   M 0 = 24.8 × 10 - 3 N ∙ m

b )   A = 7.50 × 10 - 3   N i + 15.00 × 10 - 3   N j

B = - 7.50 × 10 - 3   N i - 15.00 × 10 - 3   N j

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