Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 36

18.36. Os eixos de coordenadas mostrados na figura representam os eixos centroidais principais de inércia de uma sonda espacial de 1.500 kg cujos raios de giração são kx 0,4 m, ky 0,45 m e kz 0,375 m. A sonda não tem velocidade angular quando um meteorito de 150 g atinge um de seus painéis solares em A e emerge do outro lado do painel sem mudança na direção de sua velocidade, mas com uma redução de 25% na sua intensidade. Sabendo que a velocidade angular final da sonda é (0,05 rad /s)i (0,12 rad /s)j 2k e que o componente x da variação resultante da velocidade do centro de massa da sonda é 16 mm/s, determine (a) o componente 2 da velocidade angular final da sonda, (b) a velocidade relativa v0 com que o meteorito atinge o painel.

Passo 1

Então temos a seguinte situação: uma sonda que estava parada de boa no espaço é atingida por um meteorito no ponto A:

r → A = 2,5   i ^ + 0,2   k ^ m s  

Passo 2

Agora podemos começar a calcular! Temos um problema de momento aqui, então o melhor que fazemos agora é calcular os momentos iniciais. O momento linear inicial do meteorito é:

L → i = m v → 0 = 0,150 ⋅ v x   i ^ - v y   j ^ + v z k ^

Então

L → i = 0,15   v x   i ^ - 0,15   v y   j ^ + 0,15   v z   k ^   k g   m s 2

E o momento angular em relação a origem é

H → A i = r → A × m v → 0

Isso fica

H → A i = i ^ j ^ k ^ 2,5 0 0,2 0,15   v x - 0,15   v y 0,15   v z

Então

H → M i = 0,03   v y i ^ + 0,03   v x - 0,375   v z j ^ + - 0,375   v y k ^

E agora vamos calcular os momentos finais. Isso aqui não vai ser difícil porque sabemos que nada mudou, exceto a velocidade, esta diminui em 2 5 % , ou seja, a velocidade final é 75 % da velocidade inicial:

v = 0 , 75 v 0

Então temos

L → f = m 0 , 75 v 0 = 0 , 75 ⋅ 0,15   v x   i ^ - 0,15   v y   j ^ + 0,15   v z   k ^    

Isso fica

L → f = 0,1125 v x   i ^ - v y   j ^ + v z   k ^   k g   m s 2

E o momento angular final

H → M f = r → A × 0 , 75 m v → 0 = 0 , 75 0,03   v y i ^ + 0,03   v x - 0,375   v z j ^ + - 0,375   v y k ^  

Então

H → M f = 0,0225 v x   i ^ - 0,0225 v x - 0,28125 v z   j ^ - 0,0225   k ^  

Passo 3

Vamos focar na sonda agora, podemos considerar que inicialmente seus momentos angular e linear são nulos, depois:

L → = M v x '   i ^ + v y '   j ^ + v z '   k ^

A gente sabe que a velocidade em x varia em - 16 m m s , então

L → = 1500 - 0,016   i ^ + v y '   j ^ + v z '   k ^

Agora nós podemos usar conservação de momento linear do sistema sonda-meteorito:

0,15 v x   i ^ - v y   j ^ + v z   k ^ = 0,1125 v x   i ^ - v y   j ^ + v z   k ^ + 1500 - 0,016   i ^ + v y '   j ^ + v z '   k ^

Isso fica

0,0375 v x   i ^ - v y   j ^ + v z   k ^ = 1500 - 0,016   i ^ + v y '   j ^ + v z '   k ^

Resolvendo para cada componente temos

i ^ :           0,0375   v x = - 24

Então

v x = - 640 m s

j ^ :           - 0,0375 v y = 1500 v y '

k ^ :                       0,0375 v z = 1500 v z '

Passo 4

E o momento angular final da sonda pode ser calculado assim

H → A = M k x 2 ω x   i ^ + k y 2 ω y   j ^ + k z 2 ω z   k ^

Substituindo os valores

H → A = 1500 0,4 2 ⋅ 0,05   i ^ + 0,45 2 ⋅ - 0,12   j ^ + 0,375 2 ω z   k ^

Então

H → A = 12   i ^ - 34,45   j ^ + 210,9375 ω z  

Agora podemos usar conservação de momento angular do sistema

0,03   v y i ^ + 0,03   v x - 0,375   v z j ^ + - 0,375   v y k ^ = 0,75 0,03   v y i ^ + 0,03   v x - 0,375   v z j ^ + - 0,375   v y k ^ + 12   i ^ - 34,45   j ^ + 210,9375 ω z

Então

0,25 0,03   v y i ^ + 0,03   v x - 0,375   v z j ^ + - 0,375   v y k ^ = 12   i ^ - 34,45   j ^ + 210,9375 ω z

Agora vamos resolver para cada componente

i ^ :       0,0075 v y = 12

j ^ :     0,03   v x - 0,375   v z = - 34,45

k ^ :     - 0,375   v y = 210,9375   ω z

Da equação em i ^ temos:

v y = 12 0,0075 = 1600 m s

Agora podemos finalmente responder o item (a), porque podemos resolver a equação em k ^ .

- 0,375 1600 = 210 ,   9375 ω z

Então

ω z = - 0,375 1600 210,9375 = 2,844 r a d s

Essa á resposta do primeiro item.

Bom, nós já calculamos v x , e v y , então, se usarmos a equação em j ^ , podemos calcular v z e responder o item (b).

0,03 - 640 - 0,375 v z = - 34,35

Logo

v z = 34,35 + 192 0,375 = 142,8 m s

Então

v → 0 = - 640   i ^ + 1600   j ^ + 142,8   k ^ m s

Resposta

v → 0 = - 640   i ^ + 1600   j ^ + 142,8   k ^ m s  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para o conjunto do Problema 18.77, determine as reações dinâmicas em A e B em t = 2 s.PROBLEMA 18.77 O conjunto mostrado na figura tem massa de 6 kg e consiste em quatro placas finas semicirculares de
Quando a roda de 18 kg mostrada na figura é presa a uma máquina de balanceamento e posta para girar a uma taxa de 12,5 rev/s, verifica-se que as forças exercidas pela roda sobre a máquina são equivale
Uma placa semicircular de raio 120 mm está articulada em A e B por uma base em forma de U que gira com velocidade angular constante ω em relação a um eixo vertical. Determine (a) o ângulo β entre a fo
Uma placa semicircular uniforme de raio de 120 mm é articulada em A e B a um elevis que gira com uma velocidade angular constante ω em torno de um eixo vertical. Determine o valor de ω para o qual a p
Cada roda de um automóvel tem massa de 22 kg, diâmetro de 575 mm e raio de giração de 225 mm. O automóvel faz uma curva sem inclinação de raio de 150 m a uma velocidade de 95 km/h. Sabendo que a distâ