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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 85

Uma placa semicircular de raio 120 mm está articulada em A e B por uma base em forma de U que gira com velocidade angular constante ω em relação a um eixo vertical. Determine (a) o ângulo β entre a forma e a horizontal x quando ω = 15 rad/s, (b) o maior valor de ω para que a placa permaneça vertical ( β = 90°)

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine (a) o ângulo β entre a forma e a horizontal x quando ω = 15 rad/s, (b) o maior valor de ω para que a placa permaneça vertical ( β = 90°)

Usamos os eixos C x ' y ' z mostrados.

Notamos que I x ' e I y ' são metade daqueles para uma placa circular, e assim é a massa m. Por isso,

I x ' = 1 4 m r 2

I y ' = 1 2 m r 2

Por causa da simetria, todos os produtos da inércia são iguais a zero.

I x ' y ' = I y ' z = I z x ' = 0

Momento angular sobre C.

H C = I x ' ω x ' i ' + I y ' ω y ' j ' = 1 4 m x 2 - ω sin ⁡ β i ' + 1 2 m r 2 ω cos ⁡ β j '

= 1 4 m x 2 ω sin ⁡ β i ' + 2 cos ⁡ β j '

Passo 2

Como C é um ponto fixo, podemos usar a Equação (18.28):

Σ M C = H ˙ C C x ' y ' z + Ω × H C = 0 + ω j × H C

Ou, desde j = - i ' sin ⁡ β + j ' cos ⁡ β :

Σ M C = ω - i ' sin ⁡ β + j ' cos ⁡ β × 1 4 m x 2 ω - sin ⁡ β i ' + 2 cos ⁡ β j ' = 1 4 m r 2 ω 2 - 2 sin ⁡ β cos ⁡ β k + cos ⁡ β sin ⁡ β k

Σ M C = - 1 4 m r 2 ω 2 sin ⁡ β cos ⁡ β k

Σ M C = - m g → x cos ⁡ β k = - m g 4 r 3 π cos ⁡ β k

Passo 3

Equacionando (1) e (2):

1 4 m r 2 ω 2 sin ⁡ β cos ⁡ β = 4 m g r 3 π cos ⁡ β

ω 2 sin ⁡ β = 16 3 π g r = 16 3 π 9.81   m / s 2 0.12   m

ω 2 sin ⁡ β = 138.78   s - 2

Passo 4

  1. Seja ω = 15   rad/s na Eq. (3):

    2. sin ⁡ β = 138.78 15 2 = 0.61681

    Passo 2

  2. Seja β = 90 ° na Eq. (3):

ω 2 = 138.78   s -2

Resposta

a )   β = 38.1 °

b )   ω = 11.78   rad/s

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