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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 69

Quando a roda de 18 kg mostrada na figura é presa a uma máquina de balanceamento e posta para girar a uma taxa de 12,5 rev/s, verifica-se que as forças exercidas pela roda sobre a máquina são equivalentes a um sistema força-binárío consistindo de uma força F = (160 N)j aplicada em C e um binário MC = (14,7 N ∙ m)k, sendo que os vetores unitários formam uma tríade que gira com a roda. (a) Determine a distância do eixo de rotação ao centro de massa da roda e os produtos de inércia Ixy e Izx. (b) Usando apenas dois pesos corretivos a fim de balancear a roda estática e dinamicamente, quais deveriam ser esses pesos e em quais dos pontos A, B, D ou E eles deveriam ser colocados?

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a distância do eixo de rotação ao centro de massa da roda e os produtos de inércia Ixy e Izx. (b) Usando apenas dois pesos corretivos a fim de balancear a roda estática e dinamicamente, quais deveriam ser esses pesos e em quais dos pontos A, B, D ou E eles deveriam ser colocados?

Segue os dados :D

m = 18   kg ,                 ω = 2 π 12.5 i = 78.54   rad/s i

Passo 2

O sistema de força-casal atuando na roda é

F ' = - 160   N j ,                 M C ' = - 14.7   N ∙ m k

F ' = m a - n = - m r - ω 2                 r - = y - j + z - k = - F ' m ω 2

y - = - F y ' m ω 2 = 160 18 78.54 2 = 1.441 × 10 - 3   m     ��           y - = 1.441   mm

z - = - F z ' m ω 2 = 0

H C = I x ω i - I x y ω j - I x z ω k

M C ' = H C = ω × H C = ω i × I x ω i - I x y ω j - I x z ω k

M C ' y j + M C ' y k = I x z ω 2 j - I x y ω 2 k

I x y = - M C ' z ω 2 = - - 14.7 78.54 2 = 2.3831 × 10 - 3 kg ∙ m 2

I x z = M C ' y ω 2 = 0

Passo 3

Posições para as massas de equilíbrio.

y A = y B = - y E = - y D = 182   mm = 0.182   m

- x A = x B = x E = - x D = 75   mm = 0.075   m

As massas de equilíbrio devem ser adicionadas para mover o centro de massa para o Ponto C e para reduzir o produto da inércia a zero.

m A y A + m B y B + m E y E + m D y D + m y - = 0

0.182 m A + m B - m E - m D + 18 1.441 × 10 - 3

m A + m B - m E - m D = - 0.1425   kg

m A x A y A + m B x B y B + m E x E y E + m D x D y D + I x y = 0

0.075 0.182 - m A + m B - m E + m D + 2.3831 × 10 - 3 = 0

- m A + m B - m E + m D = - 0.17459   kg

Passo 4

Para resolver as Eqs. (1) e (2), defina mB = 0 e deixe mAD = mA - mD.

m A D - m E = - 0.1425

- m A D - m E = - 0.17459

Resolvendo,

m A D = 0.01605   kg ,                 m E = 0.1585   kg

Definir

mD = 0, de modo a mA = 0.1605 kg

Resposta

a )   r - = 1.441   mm

I x y = 2.38 × 10 - 3  kg ∙ m 2

I x z = 0

b )   m E = 158.5   g

m A = 16.05   g

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