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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 62

18.61. Determine a taxa de variação D da quantidade de movimento angular HD do conjunto do Problema 18.1, admitindo que, no instante considerado, o conjunto tenha uma velocidade angular (12 rad /s)i e uma aceleração angular (-96 rad /s2 )i.

Passo 1

Vamos começar relembrando o problema 18.1. O problema fala de duas barras uniformes AB e CE que tem 15   k g de massa e 600   m m de comprimento cada, e estão soldadas uma a outra em seus pontos médios. A velocidade angular do sistema é ω → = 12   i ^ r a d s .

O sistema é mais ou menos assim:

Passo 2

Vamos começar com a barra A B - :

I x ≈ 0

Olha só a barra está apontada na direção que está girando, e como a espessura da barra é desprezível podemos aproximar o momento de inércia para 0.

Então

H → D = I x ⋅ ω   i ^ = 0

Agora vamos para a barra C E - . Para essa barra vamos usar os eixos principais x ' e y '

Para saber o valor de θ podemos usar o triângulo:

A gente sabe que D B = D E , então a hipotenusa do triângulo é 225 + 75 = 300   m m . Então podemos fazer

cos ⁡ θ = 225 300

θ = cos - 1 ⁡ 225 300 = 41,41 °

Agora vamos fazer

ω x ' = ω cos ⁡ θ = 12 ⋅ cos ⁡ 41,41 ° = 9 r a d s

E

ω y ' = ω ⋅ sin ⁡ θ = 12 ⋅ sin ⁡ 41,41 ° = 7,937 r a d s

Agora vamos calcular os momentos de inércia:

I x ' ≈ 0

E

I y ' = 1 12 m l 2 = 1 12 1,5 0,6 2 = 0,045

Beleza, agora temos tudo que precisamos para calcular a quantidade de momento angular H D .

H D = I x ' ω x '   i ^ ' + I y ' ω y '   j ^ '

Isso fica

H → D = 0 + 0,045 7,937 = 0,357165   j ^ '

Agora tudo que resta fazer é converter H D para as coordenadas x e y .

H → D = 0,357165 ⋅ ( sin ⁡ 41,41 °   i ^ + cos ⁡ 41,41 °   j ^ )

Isso fica

H → D = 0,2362   i ^ + 0,2678   j ^

Passo 3

Beleza, agora vamos calcular H → ˙ D x ' y ' z '   , a gente vai precisar disso já já.

H → ˙ D x ' y ' z '   = I x ' α x '   i ^ ' + I y ' α y '   j ^ '

Para calcular α x ' e α y ' vamos usar um raciocínio parecido com o aquele que fizemos para calcular ω x ' e ω y ' . O valor de α → está no enunciado, α → = - 96   i ^ r a d s 2

α x ' = α cos ⁡ θ = - 96 ⋅ cos ⁡ 41,41 ° = - 72 r a d s 2

α y ' = α ⋅ sin ⁡ θ = - 96 ⋅ sin ⁡ 41,41 ° = - 63,498 r a d s 2

Então ficamos com

H → ˙ D x ' y ' z '   = 0 - 72   i ^ ' + 0,045 - 63,498   j ^ ' Então

H → ˙ D x ' y ' z '   = - 2 , 85741   j ^ '

Agora vamos colocai isso nos eixos cartesianos.

H → ˙ D x ' y ' z '   = - 2,85741   sin ⁡ 41,41 °   i ^ + cos ⁡ 41,41 °   j ^

H → ˙ D x ' y ' z '   = - 1,89   i ^ - 2,143   j ^

Passo 4

Agora as coisas vão simplificar um pouco, porque o referencial rotacional que estamos usando permite dizer que

Ω → = ω → = 12   i ^

Então, para calcular a variação de H → D só precisamos fazer

H → ˙ D = H → ˙ D x ' y ' z '   + Ω → × H → D

Ou

H → ˙ D = H → ˙ D x ' y ' z '   + ω → × H → D

Vamos substituir os valores

H → ˙ D = - 1,89   i ^ - 2,143   j ^ + 12   i ^ × 0,2362   i ^ + 0,2678   j ^

Isso vai ficar

H → ˙ D = - 1,89   i ^ - 2,143   j ^ + 3,21   k ^

Finalmente temos a resposta

H → ˙ D = - 1,89   i ^ - 2,143   j ^ + 3,21   k ^     N ⋅ m

Resposta

H → ˙ D = - 1,89   i ^ - 2,143   j ^ + 3,21   k ^     N ⋅ m

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