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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 23

Um colar com uma massa de 1 kg é rigidamente preso a uma haste delgada AB de massa de 3 kg e comprimento L = 600 mm. A haste é liberada do repouso na posição mostrada. Determine a distância d para a qual a velocidade angular da barra é máxima depois de girar 90 °.

Passo 1

E aí pessoal tudo belezinha? O enunciado pede que a gente determine a distância d para a qual a velocidade angular da barra é máxima depois de girar 90 °. Considere primeiramente a cinemática:

Cinemática:

Haste: v R = L 2 ω

Colar: v C = d ω

Posição 1 : ω = 0 T 1 = 0           V 1 = 0

Posição 2:

T 2 = 1 2 m R v - R 2 + 1 2 J - R ω 2 + 1 2 m C v C 2 = 1 2 m R L 2 ω 2 + 1 2 1 12 m R L 2 ω 2 + 1 2 m C d 2 ω 2 = 1 6 m k L 2 ω 2 + 1 2 m C d 2 ω 2

V 2 = - W c d - W k L 2

T 1 + V 1 = T 2 + V 2 : 0 + 0 = 1 6 m R l 2 + 1 2 m C d 2 ω 2 - W c d - W R L 2

ω 2 = 3 2 W C d + W C L 3 m C d 2 + m R L 2 = 3 g 2 m C d + m R L 3 m C d 2 + m R L 2 (1)

Deixe: x = d L

ω 2 = 3 g L ⋅ 2 x + m R m C 3 x 2 + m k m C

Passo 2

Dados: m C = 1 k g , m k = 3 k g

L ω 2 3 g = 2 x + 3 3 x 2 + 3

Passo 3

L ω 2 / 3 g é máximo. Definir sua derivada quando x é igual a zero

d d x L ω 2 3 g = 3 x 2 + 3 ( 2 ) - ( 2 x + 3 ) ( 6 x ) 3 x 2 + 3 2 = 0 - 6 x 2 - 18 x + 6 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:

x = - 3.30  e  x = 0.30278

d = 0.30278 L = ( 0.30278 ) ( 0.6 ) = 0.1817 m

d = 181.7 m m

Resposta

d = 181.7 m m

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