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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 113

19.113. Um motor de massa M é suportado por molas com uma constante de mola equivalente k. O desbalanceamento de seu rotor é equivalente a uma massa m localizada a uma distância r do eixo de rotação. Mostre que quando a velocidade angular do rotor é f , a amplitude xm do movimento do motor é

x m = r m M ω f ω n 2 1 - ω f ω n 2

Onde ω n = k M

Passo 1

O melhor que fazemos para começar a questão é desenhar o problema.

Aqui a gente tem que fixar atento com algumas coisas, por exemplo, a tensão na massa é variável

T = P m sin ⁡ ω f t

E as demais são a força da mola, e a força peso.

Bom, pela segunda lei de Newton temos:

∑ F = M y ¨

Então

M y ¨ = k x + M g - M g - P m sin ⁡ ω f t

Simplificando as coisas

M y ¨ = k x - P m sin ⁡ ω f t

A gente pode dividir tudo por M

y ¨ = k M x - P m M sin ⁡ ω f t

Isso é interessante para gente, porque podemos usar a equação do enunciado

ω n 2 = k M

E temos

y ¨ = ω n 2 x - P m M sin ⁡ ω f t

Passo 2

Agora vamos analisar o rotor:

Repare que vai existir uma força centrifuga da pequena massa m quando o rotor gira, essa força é P m .

P m = m r ω f 2

Agora podemos usar a equação 19.33 do livro

x m = P m k 1 - ω f ω n 2

Mas é interessante para gente lembrar uma equação:

ω n 2 = k M

De novo esse resultado vai nos ajudar, pois com ele podemos concluir que

k = M ω n 2

Então

P m k = m r ω f 2 M ω n 2

Ou de forma mais organizada

P m k = r m M ω f 2 ω n 2

Passo 3

Então a equação de x m que estamos buscando fica

x m = P m k 1 - ω f ω n 2

x m = r m M ω f 2 ω n 2 1 - ω f ω n 2

Exatamente como queríamos demonstrar.

Resposta

x m = r m M ω f 2 ω n 2 1 - ω f ω n 2

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