Enunciado

2.143 Os três cabos de suporte exercem as forças mostradas na figura. Represente cada força como um vetor unitário.

Passo 1

Nós temos o módulo das forças, mas precismos representar elas como um vetor. Para isso vamos achar o vetor com módulo 1 que está na mesma direção e sentido de cada uma das forças e então multiplica-las pelos vetores de módulo 1.

Vamos começar com o vetor para a força F B .

Nós podemos pegar o vetor que vá de A até B, r A B , pois temos suas coordenadas, e dividi-lo pelo seu módulo, dessa forma seu tamanho será reduzido a um, mas sua direção e sentido vão continuar as mesmas.

r A B = - 5 i ^ + 2 j ^ + 3 k ^   m

Seu módulo é igual a

r A B = - 5 2 + 2 2 + 3 2

r A B = 6,164   m

Vou chamar de u A B o vetor de módulo 1, que ira dar a direção e o sentido da força F B :

u A B = r A B | r A B |

u A B = - 5 i ^ + 2 j ^ + 3 k ^ 6,164

u A B = - 0,8111   i ^ + 0,3244   j ^ + 0,4867   k ^

Passo 2

Para achar a força F B em vetor unitário só precisamos multiplicar seu módulo pelo vetor u A B :

F B = F B ⋅ u A B

F B = 400 ⋅ - 0,8111   i ^ + 0,3244   j ^ + 0,4867   k ^

F B = - 324   i ^ + 130   j ^ + 195   k ^

Passo 3

Para os vetores F C e F E , devemos fazer a mesma coisa que fizemos anteriormente.

Vamos achar o vetor r A C :

r A C = - 5 i ^ - 2 j ^ + 3 k ^   m

r A C = - 5 2 + - 2 2 + 3 2

r A C = 6,164   m

Agora o vetor de módulo 1:

u A C = r A C r A C

u A C = - 5 i ^ - 2 j ^ + 3 k ^ 6,164

u A C = - 0,8111   i ^ - 0,3244   j ^ + 0,4867   k ^

Agora é só multiplicar esse vetor u A C pelo módulo da força F C :

F C = F C ⋅ u A C

F C = 400 ⋅ - 0,8111   i ^ - 0,3244   j ^ + 0,4867   k ^

F C = - 324   i ^ - 130   j ^ + 195   k ^

Passo 4

Só falta acharmos F E , para isso vamos calcular r D E e seu módulo

r D E = - 2 i ^ + 3 k ^   m

r D E = - 2 2 + 3 2

r D E = 3,605   m

Agora o vetor de módulo 1:

u D E = r D E r D E

u D E = - 2 i ^ + 3 k ^ 3,605

u D E = - 0,5547 i ^ + 0,8321 k ^

Mais uma vez, agora só falta multiplicar o vetor u D E pelo módulo da força:

F E = F E ⋅ u D E

F E = 350 ⋅ - 0,5547 i ^ + 0,8321 k ^

F E = - 194 i ^ + 2 9 1 k ^

Resposta

F B = - 324   i ^ + 130   j ^ + 195   k ^

F C = - 324   i ^ - 130   j ^ + 195   k ^

F E = - 194 i ^ + 291 k ^

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