Determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados da força resultante.

Passo 1

Sabemos que a força resultante será o somatório das nossas forças, então antes vamos definir cada uma delas. Para expressar nossas forças como vetor vamos começar encontrando as coordenadas dos pontos que definem a sua direção:

A ( 0 ,   2 ,   4 )   m

B 0 ,   0 ,   0   m

C 4 ,   8 ,   0   m

Definimos agora nossos vetores posição pelo ponto final menos inicial com seus devidos vetores unitários, assim:

r A B = x B - x A i + y B - y A j + ( z B - z A ) k

r A B = 0 i - 2 j - 4 k   m

E para o outro:

r A C = x C - x A i + y C - y A j + ( z C - z A ) k

r A C = 4 i + 6 j - 4 k   m

Passo 2

Agora encontramos o módulo dos nossos vetores:

r B = 0 2 + - 2 2 + - 4 2

r B = 4,5   m

r C = 4 2 + 6 2 + - 4 2

r C = 8,2   m

E então o vetor unitário que determina a direção e o sentido de cada vetor:

u = r r

u B = - 2 j - 4 k 4,5

u B = - 4 j 9 - 8 k 9

u C = ( 4 i + 6 j - 4 k ) 8 , 2

u C = 20 i 41 + 30 j 41 - 2 0 k 41

Passo 3

Com isso, podemos expressar cada força como um vetor cartesiano:

F B = F B   u B

F B = 600   N   - 4 j 9 - 8 k 9

F B = - 267 j - 533 k   N

F C = F C   u C

F C = 5 00   N   20 i 41 + 30 j 41 - 20 k 41

F C = 244 i + 366 j - 244 k   N

Passo 4

Nossa força resultante será:

F R = F B + F C

F R = - 267 j - 533 k + 244 i + 366 j - 244 k  

F R = 244 i + 99 j - 777 k   k N

Agora podemos encontramos a intensidade da força resultante:

F R = 244 2 + 99 2 + - 777 2

F R = 820   k N

Passo 5

Finalmente encontramos os ângulos de direção coordenados da força pela relação:

cos ⁡ α = F x F ∴ α = cos - 1 ⁡ F x F  

cos ⁡ β = F y F   ∴ β = cos - 1 ⁡ F y F

cos ⁡ γ = F z F   ∴ γ = cos - 1 ⁡ F z F

Então:

α = cos - 1 ⁡ 244 8 22 ∴ α = 7 3 °

β = cos - 1 ⁡ 99 822 ∴ β = 83 °

γ = cos - 1 ⁡ - 777 822 ∴ γ = 161 °

Resposta

F R = 820   k N

α = 73 °

β = 83 °

γ = 161 °

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