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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 34

2.33. Se a intensidade da força resultante que atua sobre a argola é 600   N e sua direção no sentido horário do eixo x positivo é θ = 30 ° , determine a intensidade de F 1 e o ângulo Φ

Passo 1

O exercício pede para que a gente calcule a intensidade de F 1 e o ângulo Φ . Para isso precisaremos decompor as forças nos eixos x e y e trabalhar com os vetores decompostos. Vamos começar a fazer isso pelo eixo x.

Passo 2

Vamos determinar a intensidade das forças no eixo x

F 1 x = F 1 ⋅ cos ⁡ Φ

F 2 x = 500 ⋅ cos ⁡ 60 ° = 250   N  

Para calcular F 3 x , você tem que reparar no triângulo da figura

E aí vamos lembrar que cos ⁡ θ = c a t e t o   o p o s t o h i p o n e t u s a = 3 5

F 3 x = - 450 ⋅ 3 5 = - 270   N

Repare que F 3 vai estar no sentido oposto a x, por isso o sinal negativo

Agora vamos calcular a intensidade da força resultante no eixo x

F R x = F 1 x + F 2 x + F 3 x = F 1 ⋅ cos ⁡ Φ + 250 - 270 = ( F 1 ⋅ cos ⁡ Φ - 20 )   N

Passo 3

Agora a gente usa a mesma estratégia para calcular determinar as forças no eixo y

F 1 y = F 1 ⋅ sin ⁡ Φ

F 2 y = - 500 ⋅ sin ⁡ 60 ° = - 433,01   N  

Vamos usar uma estratégia parecida com F 3 x para calcular F 3 y , mas agora usando seno, e lembrando s i n = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a

F 3 y = - 450 ⋅ 4 5 = - 360   N

F 2 y   e   F 3 y estão no sentido oposto ao eixo y, e por isso o sinal negativo.

Agora vamos calcular a intensidade da força resultante no eixo y

F R y = F 1 y + F 2 y + F 3 y = F 1 ⋅ sin ⁡ Φ - 433 - 360 = ( F 1 ⋅ sin ⁡ Φ - 793 )   N

Passo 4

Mas repare que a outra forma de determinar F R x   e   F R y , repare que se decompormos F R , teremos o seguinte.

Então

F R x = F R ⋅ cos ⁡ θ = 600 ⋅ cos ⁡ 30 ° = 519,62   N F R y = - F R ⋅ sin ⁡ θ = - 600 ⋅ sin ⁡ 30 ° = - 300   N

Passo 5

Mas por que não fizemos o passo 4 logo no começo?

Por que agora poderemos determinar a intensidade de F 1

F R x = ( F 1 ⋅ cos ⁡ Φ - 20 )   N F R x = 519,62   N ( F 1 ⋅ cos ⁡ Φ - 20 )   N = 519,62   N F 1 ⋅ cos ⁡ Φ = 519,62 + 20 = 539,62

Seguindo o mesmo raciocínio

F R y = F 1 ⋅ sin ⁡ Φ - 793 N F R y = 300   N F 1 ⋅ sin ⁡ Φ - 793 N = - 300   N F 1 ⋅ sin ⁡ Φ = 493   N

Agora podemos elevar as duas equações ao quadrado e soma-las para sumir com Φ e descobrir o valor de F 1

F 1 2 ⋅ cos 2 ⁡ Φ + F 1 2 ⋅ sin 2 ⁡ Φ = 539,62 2 + 493 2 F 1 2 ⋅ ( cos 2 ⁡ Φ + sin 2 ⁡ Φ ) = 539,62 2 + 493 2 F 1 = 539,62 2 + 493 2 = 730,92   N

Passo 6

Agora que sabemos a intensidade de F 1 podemos calcular o ângulo Φ .

Aqui você pode escolher entre F R x   e   F R y , eu vou usar F R x .

F R x = ( F 1 ⋅ cos ⁡ Φ - 20 )   N 519,62 = 730,92 ⋅ cos ⁡ Φ - 20 Φ = c o s - 1 519,62 + 20 730,92 = 42,41 °

Resposta

F 1 = 730,92   N Φ = 42,41 °

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