Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 37
2.37. Se a intensidade da força resultante que atua sobre a chapa precisa ser e sua direção no sentido horário do eixo x positivo é , determine a intensidade de e o ângulo Φ
Passo 1
Fala, querido!
O exercício pede para que a gente calcule a intensidade de e o ângulo .
Para isso precisaremos decompor as forças nos eixos x e y e trabalhar com os vetores decompostos.
Ele nos dá a informação que de que a resultante é e tem direção no sentido horário. A gente pode descobrir as componentes dessa resultante nos eixos x e y com essa informação. Nossa força resultante está assim:
Daí a gente pode achar os valores das componentes dela nos eixos x e y:
Percebe que essa última é negativa porque a força está apontando para o sentido negativo de y.
Aí vem o pulo do gato: a gente pode achar expressões para e em função de e , calculando a componente de cada força nos eixos e somando. Comparando com esses valores aí de cima, achamos o que a questão pede!
Bora lá!
Passo 2
Vamos determinar a intensidade das forças no eixo x. Repara que para , o eixo x é oposto ao ângulo que da sua orientação. Por isso a gente coloca seno. E repara que ela aponta para o lado negativo do eixo , aí sua componente fica negativa:
Já para , vemos que ela aponta para a parte positiva do eixo x, e que o ângulo da sua orientação não é oposto a esse eixo, então a gente a multiplica por
Para calcular , você tem que reparar no triângulo da figura
A gente vai multiplicar pelo cosseno de , já que esse ângulo tá coladinho com o eixo x. E aí vamos lembrar que
Repara que ela aponta para o sentido positivo de x.
Agora vamos calcular a intensidade da força resultante no eixo x
Passo 3
Agora a gente usa a mesma estratégia para calcular determinar as forças no eixo y
Repara que aponta para a parte negativa de y. E que o seu ângulo de orientação está colado no eixo y. Vamos usar cosseno e deixar ela negativa:
está no sentido positivo e seu ângulo é oposto a y, então:
Vamos usar uma estratégia parecida com para calcular , mas agora usando seno, e lembrando
está no sentido oposto ao eixo y, e por isso o sinal negativo.
Agora vamos calcular a intensidade da força resultante no eixo y
Passo 4
Repara que agora poderemos determinar a intensidade de . Isso porque temos duas expressões para e . Podemos igualar e fazer um sisteminha!
Seguindo o mesmo raciocínio
Agora podemos elevar as duas equações ao quadrado e soma-las para sumir com e descobrir o valor de
Lembrando da relação trigonométrica que , portanto:
Passo 5
Agora que sabemos a intensidade de podemos calcular o ângulo .
Aqui você pode escolher entre , eu vou usar .