Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 20

Determine as equações da linha elástica utilizando as coordenadas x 1 e x 2 e especifique a inclinação e a deflexão em B . E I é constante.

Passo 1

Faaaaala aí! O que ele quer aqui é que a gente use dois sistemas de referência diferentes para achar v x . Um com origem na ponta esquerda da viga ( x 1 ) e um com origem na ponta direita ( x 2 ).

Aí a gente usa que

E I d 2 v d x 2 = M x

Acha o momento, integra duas vezes e acha v x para esses dois casos.

Antes de tudo, a gente só precisa especificar as reações dessa viga. Colocando as reações M A e F A no engaste:

∑ F y = 0 ∴ F A = w a

∑ M A = 0 ∴ M A = w a 2 2

Agora sim. Bora!

Passo 2

Vamos achar a função momento para o intervalo 0 ≤ x 1 ≤ a :

Repara que é mais fácil achar o momento nesse intervalo olhando só para parte esquerda da viga, ao cortar ela numa seção dentro do nosso intervalo, e esquecendo a direita. Então ajuda se a gente usar o sistema x 1 , beleza?

∑ M = 0 M x 1 + w a 2 x 1 2 - w a x 1 + w a 2 2 = 0 M x 1 = - w a 2 x 1 2 + w a x 1 - w a 2 2

Sabemos que:

E I d 2 v 1 d x 1 ² = M x

Logo:

E I d 2 v 1 d x 1 2 = - w a 2 x 1 2 + w a x 1 - w a 2 2

E I d v 1 d x 1 = - w 6 x 1 3 + w a 2 x 1 2 - w a 2 2 x 1 +   C 1

E I v 1 = - w 24 x 1 4 + w a 6 x 1 3 - w a 2 4 x 1 2 +   C 1 x 1 + C 2

Passo 3

Aí como o enunciado pediu para usar os dois, para a outra parte da viga, usamos x 2 .

Será o mesmo processo aqui, só que para a ≤ x 2 ≤ L :

∑ M = 0 ∴ M + w a 2 2 - w a x 2 + w a x 2 - a 2 = 0 ∴ M = 0

Logo:

E I d 2 v 2 d x 2 2 = 0

E I d v 2 d x 2 = C 3

E I v 2 = C 3 x 2 + C 4

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições de contorno e continuidade. Nelas a gente retrata que o deslocamento e a inclinação no apoio são nulos. E há continuidade tanto de v quando de v ' no ponto a carga uniforme termina.

As condições de contorno serão:

x 1 = 0 → v 1 = 0 e d v 1 d x 1 = 0

E I d v 1 d x 1 = - w 6 x 1 3 + w a 2 x 1 2 - w a 2 2 x 1 +   C 1 → 0 = 0 +   C 1 → C 1 = 0

E I v 1 = - w 24 x 1 4 + w a 6 x 1 3 - w a 2 4 x 1 2 +   C 1 x 1 + C 2 → 0 = 0 + C 2 → C 2 = 0

Já as condições de continuidade serão:

x 1 = x 2 = a → v 1 = v 2   e     d v 1 d x 1 = d v 2 d x 2

Logo, substituindo:

E I d v 2 d x 2 = C 3

C 3 = - w 6 x 1 3 + w a 2 x 1 2 - w a 2 2 x 1 → C 3 = - w 6 a 3 + w a 2 a 2 - w a 2 2 a → C 3 = - w a 3 6

E I v 2 = C 3 x 2 + C 4

- w a 3 6 a + C 4 = - w 24 a 4 + w a 6 a 3 - w a 2 4 a 2

C 4 = w a 4 24

Passo 5

Para as equações da linha elástica, temos:

v 1 = w 24 E I - x 1   4 + 4 a x 1 3 - 6 a 2 L 2 x 1 2

v 2 = w a 3 24 E I ( - 4 x 2 + a )

Já a inclinação em B , ocorre em x 2 = L .

v 2 ' L = θ B = - w a 3 6 E I

Quanto à deflexão em B, temos x 2 = L :

v 2 L = v B = w a 3 24 E I ( - 4 L + a )

Resposta

v 1 = w 24 E I - x 1   4 + 4 a x 1 3 - 6 a 2 L 2 x 1 2

v 2 = w a 3 24 E I ( - 4 x 2 + a )

θ B = - w a 3 6 E I

v B = w a 3 24 E I ( - 4 L + a )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a reação no apoio móvel e a deflexão no ponto b.
Para a viga uniforme mostrada, determinar a reação em A.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a reação no apoio móvel e a deflexão no ponto c.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a) a equação da linha elástica b) a deflexão no ponto B c) a deflexão no ponto D.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a) a equação da linha elástica b) a deflexão na extremidade livre.