Enunciado

32. Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, (a) trace os diagramas de esforço cortante e de momento fletor, (b) determine os valores absolutos máximos do esforço cortante e do momento fletor.

Passo 1

Bom! Vamos dar uma olhadinha na figura do enunciado e ver onde podemos começar nossa análise:

Olha só! Se você está em dúvida em relação ao que é esse w presente na figura, saiba que essa letrinha é característica de uma coisa muito comum nos problemas de estática, em situações de carregamento distribuído.

Só que nesse caso, como o carregamento distribuído se assemelha a um retângulo, a força total produzida por ele, vai ser dada por:

F o r ç a = w ⋅ ( C o m p r i m e n t o   d o   c a r r e g a m e n t o   d i s t r í b u i d o )

No caso da figura do enunciado, temos que o comprimento do carregamento vai ser L / 2 . Logo:

F o r ç a = w ⋅ L 2

E olhem só! O comum seria que tivéssemos que obter a força de reação, que vai estar no ponto C . Só que não! Como nossa análise obviamente vai do ponto A até o ponto C , podemos desprezar a força de reação em C e partir pro que interessa.

Passo 2

Agora, para descobrir os esforços cortantes e momentos fletores; temos que separar a viga em vários trechos e analisá-los separadamente, com nosso estudo indo do ponto A até o C :

Bora lá!! O primeiro trecho é o A B , e o diagrama de corpo livre para esse trecho está logo abaixo:

Diante dessa belezinha de imagem, fica até fácil saber o que temos fazer. Ora bolas! Para achar o esforço cortante, basta fazer o somatório das forças em y . Olho lá, na nossa convenção adotada do esforço cortante, para baixo:

↑ + ∑ F y = 0

- w x - V = 0

V = - w x

E para achar o momento fletor, tá vendo aquele ponto que nomeamos de 1 na nossa figura. Pois bem! Vamos fazer o somatório dos momentos em relação a ele:

⤹ + ∑ M 1 = 0

w x ⋅ x 2 + M 1 = 0

M 1 = - w x 2 2

Pronto! Finalizamos o trecho A B , que vai de 0 até L / 2 :

Passo 3

Agora, bora partir pro trecho B C , com a nossa análise agora, indo de L / 2   até L   . Para isso, bora lá fazer o esboço do nosso problema:

E como ninguém aqui é papagaio, bastar realizar os mesmos procedimentos do P a s s o   1 . Primeiro, o somatório das forças em y :

↑ + ∑ F y = 0

- w L 2 - V = 0

V = - w L 2

Depois, o somatório dos momentos em relação ao ponto que nomeamos de 2 . Olho lá nas distâncias entre as forças, hein!?

⤹ + ∑ M 2 = 0

w L 2 x 1 + L 2 + M 2 = 0

M 2 = - w L 2 x 1 + L 4

Ahh! Só avisando que esse x 1 é uma variável válida apenas para o trecho B C , que vai de 0 até L / 2 , sendo o comprimento desse trecho igual a L / 2 :

Passo 4

a) Com as seguintes expressões de esforço cortante e momento fletor, bora pro que interessa. Vamos calcular alguns pontos de interesse para construir o nosso gráfico:

Trecho A B ( 0 < x ≤ L / 2 ) :

P a r a   x = 0 → V = 0

P a r a   x = 0 → M = 0

P a r a   x = L 2 → V = - w L 2

P a r a   x = L 2 → M = - w L 2 8

Trecho B C ( 0 < x 1 ≤ L / 2   ) :

P a r a   x 1 = 0 → V = - w L 2

P a r a   x 1 = 0 → M = - w L 2 0 + L 4 = - w L 2 8

P a r a   x 1 = L 2 → V = - w L 2

P a r a   x 1 = L 2 → M = - w L 2 L 4 + L 2 = - 3 w L 2 8

E obtido esses valores, tracemos nosso gráfico:

Passo 5

b) Finalmente, como a questão nos pede para determinar os valores absolutos máximos do esforço cortante e do momento fletor, o que temos que fazer nesse caso, é simplesmente usar a visão e ver qual o maior valor em módulo podemos extrair dos gráficos.

Trata-se portanto, de uma coisa simples e ao observar as figuras do P a s s o   3 , notamos que nossas respostas são dadas por:

V m á x = w L 2

M m á x = 3 w L 2 8

Resposta

a)

b)

V m á x = w L 2

M m á x = 3 w L 2 8

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