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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 38

38. Resolva o Problema 9.36 para o ponto C localizado no centro na superfície inferior da alma.

Passo 1

Primeiro, devemos calcular o momento de polar de inércia da seção transversal. Porém, devemos dividir em dois eixos, o eixo y e o eixo z . Sabemos que para seções retangulares, temos a seguinte equação de momento de polar de inércia:

I = 1 12 ( b h 3 )

Onde b é o tamanho da parede paralela ao eixo e h é o tamanho da parede perpendicular ao eixo.

Neste caso, devemos usar o Teorema dos Eixos Paralelos, pois os centroides das peças separadas não estão no mesmo eixo que o centroide da peça total, o qual é dado por:

I T = I + A d 2

Onde a é a área de um elemento separado e d é a distância do seu centroide com o centroide da peça total.

Mas como o centroide da peça 2 coincide com o centroide da peça total, não será preciso aplicar o teorema dos eixos paralelos para ela:

I T z = I P 1 + A 1 d 1 2 + I P 2 + I P 3 + A 3 d 3 2

I P 1 + A 1 d 1 2 = ( 0,2   m ) ( 0,05   m ) 3 12 + 0,2   m × 0,05   m ( 0,125   m ) 2 I P 2 = ( 0,05   m ) ( 0,2   m ) 3 12 I P 3 + A 3 d 3 2 = ( 0,2   m ) ( 0,05   m ) 3 12 + 0,2   m × 0,05   m ( 0,125   m ) 2

I T z = ( I P 1 + A 1 d 1 2 ) + ( I P 2 ) + ( I P 3 + A 3 d 3 2 )

I T z ≅ 1,583333 × 10 - 4   m 4 + 0,3333 × 10 - 4   m 4 + 1,583333 × 10 - 4   m 4

I T z ≅ 3,5 × 10 - 4   m 4

Agora, devemos calcular o momento polar de inércia no eixo y . Mas, como o eixo dos centroides das três peças coincidem com o eixo do centroide da peça total, não será necessário o Teorema dos Eixos Paralelos:

I T y = I P 1 + I P 2 + I P 3

I P 1 = ( 0,05   m ) ( 0,2   m ) 3 12 I P 2 = ( 0,2   m ) ( 0,05   m ) 3 12 I P 3 = ( 0,05   m ) ( 0,2   m ) 3 12

I T y ≅ 3,3333 × 10 - 5   m 4 + 0,20833 × 10 - 5   m 4 + 3,3333 × 10 - 5   m 4

I T y ≅ 6,875 × 10 - 5   m 4

Passo 2

Iremos calcular com isso, a tensão no ponto C :

σ C = - N x A + M z y C I z

σ C = 500 × 10 3   N 0,03   m 2 - 40 × 10 3   k N ⋅ m 0,1   m 3,5 × 10 - 4   m 4

σ C = - 5,24   M P a   ( C o m p r e s s ã o )

E em seguida fazer outro cálculo, dessa vez para descobrir a tensão máxima de cisalhamento no ponto C :

τ C = V y Q C I z t

τ C = ( 800 × 10 3   N ) ( 0,125 × 0,2 × 0,05   m 3 ) ( 3,5 × 10 - 4   m 4 ) ( 0,05   m )

τ C = 57,14   M P a

Passo 3

Agora calcularemos, o que pede o enunciado; as tensões principais no ponto C :

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ 1,2 = ( - 5,24   M P a ) + ( 0   M P a ) 2 ± - 5,24   M P a - ( 0   M P a ) 2 2 + ( - 57,14   M P a ) 2

σ 1,2 ≅ - 2,62   M P a ± 57,2   M P a

E obtemos com isso, duas tensões:

σ 1 ≅ - 2,62   M P a + 57,2   M P a ≅ 54,6   M P a

σ 2 ≅ - 2,62   M P a - 57,2   M P a ≅ - 59,8   M P a

Passo 4

Por fim, o próximo passo é calcular a tensão de cisalhamento máxima no plano τ m á x no ponto C , que é dada pela fórmula abaixo:

τ m á x = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

τ m á x = ( - 5,24   M P a ) - ( 0   M P a ) 2 2 + ( - 57,14   M P a ) 2

τ m á x ≅ 57,2   M P a

Resposta

As tensões principais no ponto C são:

σ 1 ≅ - 2,62   M P a + 57,2   M P a ≅ 54,6   M P a

σ 2 ≅ - 2,62   M P a - 57,2   M P a ≅ - 59,8   M P a

E a tensão de cisalhamento máxima no plano, nesse ponto é:

τ m á x ≅ 57,2   M P a

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