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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 40

40. Resolva o Problema 9.39 para o ponto B localizado na alma na parte superior da aba inferior.

Passo 1

Primeiro, vamos calcular os esforçoes cortantes e os momentos fletores da viga.

Montaremos, então, o diagrama de esforços cortantes e momento fletor no ponto A (ou B ):

↑ + ∑ F y = 0

V - 50   k N = 0

V = 50   k N

↶ + ∑ M = 0

M   - 50   k N × 3   m = 0

M = 50   k N × 3   m

M = 150   k N ⋅ m

Passo 2

Devemos, então, calcular o momento de polar de inércia da seção transversal. Sabemos que para seções retangulares, temos a seguinte equação de momento de polar de inércia:

I = 1 12 ( b h 3 )

Onde b é o tamanho da parede paralela ao eixo e h é o tamanho da parede perpendicular ao eixo.

Neste caso, devemos usar o Teorema dos Eixos Paralelos, pois os centroides das peças separadas não estão no mesmo eixo que o centroide da peça total, o qual é dado por:

I T = I + A d 2

Onde a é a área de um elemento separado e d é a distância do seu centroide com o centroide da peça total.

Mas como o centroide da peça 2 coincide com o centroide da peça total, não será preciso aplicar o teorema dos eixos paralelos para ela:

I T = I P 1 + A 1 d 1 2 + I P 2 + I P 3 + A 3 d 3 2

I P 1 + A 1 d 1 2 = ( 0,2   m ) ( 0,012   m ) 3 12 + 0,2   m × 0,012   m ( 0,131   m ) 2  

I P 2 = ( 0,01   m ) ( 0,25   m ) 3 12

I P 3 + A 3 d 3 2 = ( 0,2   m ) ( 0,012   m ) 3 12 + 0,2   m × 0,012   m ( 0,131   m ) 2

Chegamos então, à:

I T = I P 1 + A 1 d 1 2 + I P 2 + I P 3 + A 3 d 3 2

I T = 4,12152 × 10 - 5   m 4 + 1,30208 × 10 - 5   m 4 + 4,12152 × 10 - 5   m 4

I T = 9,545 × 10 - 5   m 4

Passo 3

Agora, vamos tratar de calcular a tensão no ponto B :

σ B = M y B I

σ B = - 150 × 10 3   k N ⋅ m 0,125   m 9,545 × 10 - 5   m 4

σ B ≅ - 196,44   M P a   ( C o m p r e s s ã o )

Para em seguida fazer o cálculo da tensão máxima de cisalhamento no nosso ponto em questão:

τ B = V Q B I t

τ B = ( 50 × 10 3   N ) ( 0,131 × 0,012 × 0,2   m 3 ) ( 9,545 × 10 - 5   m 4 ) ( 0,01 m )

τ B ≅ 16,47   M P a

Passo 4

Obtidas as nossas tensões de estado plano, bora descobrir, então, as tensões principais no ponto A , através da fórmula abaixo:

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ 1,2 = ( - 196,44   M P a ) + ( 0   M P a ) 2 ± - 196,44   M P a - ( 0   M P a ) 2 2 + ( - 16,47   M P a ) 2

σ 1,2 ≅ - 98,22   M P a ± 99,59   M P a

Essa fórmula nos fornece duas tensões, uma máxima σ 1 e outra mínima σ 2 :

σ 1 ≅ - 98,22   M P a + 99,59   M P a ≅ 1,37   M P a

σ 2 ≅ - 98,22   M P a - 99,59   M P a ≅ - 198   M P a

Resposta

As tensões principais no ponto B são:

σ 1 ≅   1,37   M P a

σ 2 ≅ - 198   M P a

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