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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 42

Resolva o Problema 9.41 para o ponto B.

Passo 1

Aqui, vamos primeiro montar o diagrama de esforço cortante e momento fletor do parafuso com um corte no ponto B mas com a chave acoplada, pois a força de 90 k N influencia nas contas:

Agora é só realizar a análise dos esforços cortantes e momento fletor:

uarr + sum F_z = 0 -> V_z - 90 N = 0 :. V_z = 90 N

↶ + sum M_x = 0 -> M_x = (90 N xx 0,05 m) :. M_x = 4,5 N * m

↶ + sum M_y = 0 -> T_y = (90 N xx 0,15 m) :. T_y = 13 , 5 N * m

Passo 2

Agora, calcularemos a tensão no ponto B , lembrando que a fórmula do momento polar de inércia de um círculo é da por pi c^4 // 4 , onde c é a distância do centro até a bora mais externa:

sigma_B = (M_x y_B)/(I_x)

sigma_B = (( 4,5 N * m ) ( 0 m ))/((pi)/(4) ( 0,003 m )^4)

:. sigma_B = 0 M P a

Cálculo da tensão máxima de cisalhamento no ponto B :

tau_B = - (V_z Q_B)/(I_x t) + (T_y c)/(J)

tau_B = - (( 90 N ) (2)/(3) * ( 0,003 m )^3)/((pi)/(4) ( 0,003 m )^4 ( 0,006 m )) + (( 13 , 5 N * m ) ( 0,003 m ))/((pi)/(2) ( 0,003 m )^4)

:. tau_B = 314,07 M P a

Passo 3

Calcularemos, então, as tensões principais no ponto B :

sigma_1,2 = (sigma_x + sigma_y)/(2) +- sqrt(((sigma_x - sigma_y)/(2))^2 + tau_(x y)^2)

sigma_1,2 = (0 M P a + 0 M P a)/(2) +- sqrt(((0 M P a + 0 M P a)/(2))^2 + ( 31 4,07 M P a )^2)

sigma_1,2 = 0 M P a +- 3 14,07 M P a

sigma_1 = + 314,07 M P a

sigma_2 = - 314,07 M P a

Passo 4

Neste passo, vamos encontrar o ângulo theta_p que o elemento será rotacionado:

t g (2 theta_p) = (tau_x y)/(( sigma_x - sigma_y ) // 2)

t g (2 theta_p) = (31 4,07 M P a)/(( 0 M P a - 0 M P a ) // 2)

t g (2 theta_p) = oo

E devemos calcular o arco tangente do valor encontrado:

tg^(- 1) 2 theta_p = oo

:. theta_p 1 = 45 °

Esse ângulo é quanto um dos eixos está deslocado, para achar o outro, devemos somar noventa graus:

theta_p 2 = 45 ° + 90 ° = 135 °

Passo 5

Por fim, vamos utilizar a fórmula a seguir para descobrir qual tensão das duas achadas é a tensão que está deslocada no eixo x :

sigma_x ' = (sigma_x + sigma_y)/(2) + (sigma_x - sigma_t)/(2) * cos (2 theta) + tau_x y * s e n ( 2 theta )

sigma_x ' = (0 M P a)/(2) + (0 M P a)/(2) * cos (2 (45 °)) + 31 4,07 M P a * s e n ( 2 ( 45 ° ) )

:. sigma_x^' = 314,07 M P a

Resposta

As tensões principais desenvolvidas no ponto B da haste do parafuso são:

sigma_1 = + 314,07 M P a

sigma_2 = - 314,07 M P a

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